轨迹法解一类三角形面积最值的梳理

赵志强

[摘 要] 关于最值问题通常的思路是借助函数或基本不等式来着手处理，对于本文中所涉及的三角形最值问题可以用上述一般方法来处理，而更机智的处理方式是用轨迹法刻画三角形的第三个点的轨迹，利用轨迹的几何性质寻找与底边相对应的最长的高，从而确定三角形面积的最大值.

[关键词] 轨迹法；三角形面积；最值

求曲线的方程是高中数学选修2-1的中的内容，根据问题情境所给条件求解点所满足的轨迹方程，利用点满足轨迹的几何或代数性质进而解决与之相关的数学问题的方法通常被定义为轨迹法. 本文所讨论的问题是轨迹法运用于三角面积最值求解，这类问题存在两个明显的要件：其一，三角形某一边为定值；其二，另外两边满足一定的数量关系，具体的形式可以两边成比例、边的向量数量积为定值，抑或是边存在平方和或差的数量关系等等.

[?] 实践探索：相似问题中发现端倪

最近在浏览数学学科网的过程中发现了一个求解曲线方程的专题训练，然而专题中的一组示三角形面积最大值的题目与专题的名称看似却不怎么搭调.这引发了笔者的兴趣，现将这些例题呈现如下：

但既然出题人将这些问题放到一个专题中一定有其用意，再次观察不难发现这些问题都有一个共同的特点：这些三角形必定有一边是定值，而另外两边又存在着一定数量关系. 所以若将为定值边的两点固定在坐标轴上，那题目就会变成动点到两定点距离满足一定数量关系，所以就可求动点的轨迹. 当轨迹知道后，只需寻到轨迹上到x轴距离最远的点，即可求得三角形的最大面积. 也许这就是求解问题的突破口，带着这样的猜想笔者试着将上述问题进行了再次求解.

按照同样的方法建系求轨迹，可知例2建系后求得C点轨迹方程为（x+4）2+y2=12（y≠0），圆周上到底面最长的高为半径，所以Smax=4；例3虽不是边长的比例但条件中存在向量数量积的数量关系，所以建系后可得A点轨迹议程为x2+y2=9（y≠0），所以三角形面积最大值為6；例4中存在边长平方和的数量关系，建系后可得C点的轨迹方程为：x2+y2=3（y≠0），所以三角形面积最大值为.

通过对上述几道问题的解决我们不难发现这种问题的解题思路就是利用轨迹法求解动点轨迹，借助动点轨迹图形的几何性质来求解最值.

[?] 理论归纳：系统分析后总结规律

通过实践的运算，我们验证了猜想，那么这些问题的本质是什么呢？它们有现实的问题原型吗？带着这些问题我们进行了如下系统的理论分析.

要分析这类问题的本质首先要寻找这类问题的共同点，粗看上述各个例题，也许仅能找到一个共同点，即它们有一个边是定值，而另外的已知条件各不相同：有的是边成比例、也有的是边的向量数量积为定值、更有边的平方关系. 但仔细分析这些不同的条件，其实在本质上它们是一致的，即另外两边满足一定的数量关系. 以定值的边为x轴建系后三角形已知边的两点则为定点，平面中能与两定点构成三角形并且满足数量关系的点并不唯一. 所以三角形的第三个点在平面中表现为某一种轨迹，而这个轨迹可以用动点坐标满足的方程来刻画. 当动点轨迹是一个规则图形时，可以根据图形的几何性质来寻找轨迹上到底边距离最长的点，从而可求三角形面积的最大值. 所以，我们认为这类问题的本质是以动点轨迹为载体求解三角形面积最值，其核心要件是点轨迹的刻画. 众所周知，刻画动点轨迹有多种方法诸如定义法、相关点法、交轨法、直接法等等方法. 而像上述几道例题这样运用满足数量关系来建立方程的方法被称为直接法. 所以解决这类问题的思路就是以直接法来求解动点的轨迹方程，根据轨迹方程判断轨迹图形，根据图形的几何性质来寻找与定值边相对应的最长的高，进而求解三角形面积的最大值.

通过查阅资料我们发现上述类型的问题在过往的高考中存在相似的原型，江苏省2008年高考卷第十三题：“满足条件，AB=2，AC=BC的三角形ABC面积的最大值是多少？”这与我们例1、例2（新乡2016年模拟）几乎是一样的. 通过查阅当年的高考答案评析，我们发现这道题的出题意图就是考查学生求解曲线方程的知识. 评析这么确信考试意图就是考曲线方程是因为在课本（苏教2-1）求曲线方程这一节中我们能找到问题的原型：“求平面内到两定点A、B距离之比等于2的动点M的轨迹”. 因为是两定点，所以显然AB的长度固定，这与AB=2相似；动点到两定点距离之比为2，即=2，这又与高考题中AC=BC吻合. 当然有人会提出质疑：例3、例4并未与课本例题有相似的条件. 我们认为比例关系仅仅是数量关系的一种表现形式而已，只要问题情境中存在着动点的数量关系就可利用直接法求解点轨.课本的例2显然是这类问题的根源所在，而这类问题所考查的对象也一定是曲线方程的求解.