一堂空间距离的拓展课

郑敏鸽

[摘 要] 课堂教学，知识的传播是第一要素. 但仅僅只有知识的传播是不够的，课堂教学不仅仅是知识的传递，也是与知识的探讨，更是与生命的对话. 教学， 应让生命在场，有思考的课堂才能算是真正的课堂.

[关键词] 探究；类比；拓展；延伸

将教材进行有效的拓展，进行深层次的挖掘含在空间内部的本质性问题，进行探索与开发，既能让学生真正掌握所涉及的课程内容又有利于其探究能力的培养，激发学生对知识的兴趣欲，也是提高教师处理课堂教学能力的有效途径.

我们来看一下人教版普通高中课程标准实验教科书必修2第四章中的空间两点间的距离公式：

类比平面两点间的距离公式的推导，你能猜想一下空间两点P1（x1，y1，z1），P2（x2，y2，z2）的距离公式吗？

教材利用类比方法，通过平面两点间的距离推导出了空间两点间的距离. 立足平面几何知识探究空间几何知识，这堂课应该能引起学生的求知欲、探索欲，对知识的渴望，不仅是广度的渴望，更是深度的渴望. 学生对于平面和空间知识的关联激起了更大的思考，他们不禁思考：我还能做更多的探究吗？

立足教材

例：已知A（3，3，1），B（1，0，5），求：到A，B两点距离相等的点P（x，y，z）的轨迹方程.

解法一（常规法）：由题意得AP=BP，

即 = ，

整理得：4x+6y-8z+7=0.

答：点P的轨迹方程为4x+6y-8z+7=0.

提问：同学们能不能类比平面知识来解决这个问题，平面中到两点距离相等的点的轨迹是什么几何图形？猜想一下空间中又是什么几何图形？该图形可以怎么确定？

解法二：从平面知识可知，到两点距离相等的点的轨迹是一条中垂线，且易知空间直线的中垂线有无数条，这无数条直线构成直线AB的垂直平分面α，设ax+by+cz+d=0，且α∩面xOy=l1，即l1：ax+by+cz+d=0，z=0，

α∩面xOz=l2，即l2：ax+by+cz+d=0，y=0.

设A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2）；可知AB垂直α内任何一直线，则AB⊥l1，AB⊥l2.

设AB在平面xOy内的射影为A1B1，由三垂线逆定理可知l1⊥A1B1，

且A1（x1，y1，0），B1（x2，y2，0）. 现把l1，A1，B1看成平面问题，即平面xOy，

l1：ax+by+d=0，A1（x1，y1），B1（x2，y2）.

因为l1⊥A1B1？圯 = ，l2⊥A1B1 = ，所以 = = （x1≠x2，y1≠y2，z1≠z2）.

又因为α是l的垂直平分面，

所以 = = ，a +b +c +d=0.

所以本题可以利用以上思想来解.

设点P的轨迹方程为：ax+by+cz+d=0，

所以 = = ，a +b +c +d=0， 所以a= b，c=- b，d= b，所以4x+6y-8z+7=0.

例题内容延伸

求到点A（0，-1，0）和点B（0，1，0）距离之和为4的点P（x，y，z）的轨迹方程.

解法一（常规法）：略.

解法二：把点P的轨迹分别讨论，

（1）在xOy平面，由椭圆知识得 + =1；

（2）在yOz平面，得 + =1.

由以上两点得，x轴与y轴具有同等地位，可以发现y轴为长轴，x轴与z轴为短轴，即可以看成把椭圆绕长轴转一圈.

综合椭圆知识，可得 + + =1.

推广：若 ∥x轴，且AB的中点O（x1，y1，z1），dAB=2c，PA+PB=2a（a>c），则点P（x，y，z） 的轨迹方程为 + + =1.

若 ∥y轴，且AB的中点O（x1，y1，z1），dAB=2c，PA+PB=2a（a>c），则点P（x，y，z）的轨迹方程为 + + =1.

若 ∥z轴，且AB的中点O（x1，y1，z1），dAB=2c，PA+PB=2a（a>c），则点P（x，y，z）的轨迹方程为 + + =1.

那么若到两点距离之差等于定值的点的轨迹方程呢？也可以用类似的思路去推广，不妨一试.

例题应用

《浙江省高考研究卷》理科数学（五）——2016年普通高等学校招生全国统一考试第15题：若1≤x，y，z≤2，且xyz=4，则log x+log y+log z的取值范围是_________.

分析：利用本堂课的知识大大降低了本题的难度. 利用换元思想，设a=log2x，b=log2y，c=log2z，原题即：已知0≤a，b，c≤1，a+b+c=2，求a2+b2+c2的取值范围. 可知点（a，b，c）的轨迹是有限的平面，把代数问题转化成空间坐标原点到有限平面的距离问题.

新课改背景下，课堂的高效性是现在众多教师探索的热门话题，所谓高效性，就是改变以往的灌输式教育为学生自主学习，学生要自主地学好一节课，兴趣又是最好的引导者，所以有趣的拓展知识或与本知识相关的数学问题成为一节课的亮点，最终会实现课堂的有效性. 课堂知识拓展是必需的，当然它同时又是一门艺术，值得所有教师不断探索.新课程背景下的课堂，不再是推崇学生问自己“这堂课我懂了吗”，因为这只是体现学生接受知识的程度. 而笔者认为我们追求的应该是“我从课堂学习中获得快乐了吗”. 如何让学生能在知识的海洋中获得快乐，那必须让学生参与其中，体会发现问题、解决问题、获得新知的过程. 让学生成为课堂的主人，让他们有所问，有所求，有所得.