“直线与平面垂直”评优课的课例分析与思考

华书春++许兴震

[摘 要] 目前基层相当比例的数学课堂依然沿袭着传统的“重结论、轻过程”的现象，笔者参与的“问题引领，自主建构”数学教学模式以问题为载体贯穿整个教学过程，学生通过感受问题、探究问题、解决问题，实现意义建构，提高思维品质.

[关键词] 问题；情境；启发；建构；反思

笔者在无锡参加了江苏省高中青年教师数学评优课活动，此次活动由全省各市选拔的二十多名青年教师参赛，活动包含了听课、优秀课说课、评课及交流，笔者（以下称A老师）以参赛的“直线与平面垂直”第一节课作素材，分析一些有益的经验，提出“问题引领，自主建构”模式的一些教学建议供大家探讨.

创设情境，推一扇大门

情境创设部分A老师提出了五个问题.

问题一：直线和平面有哪几种位置关系？

问题二：研究了直线和平面平行哪些内容？

问题三：直线和平面相交中最特殊的一种情况是什么？

教学过程：A老师以连续三个问题和学生互动，引导学生参与思考，然后让学生动手操作，去感知发现线面垂直是相交的一种特殊情况，得出线面垂直的初步构想，同时追问为什么命名为“垂直”？我们已经掌握了哪些垂直關系？

点评：通过对已有知识追问，为未来定义的建构埋下伏笔.

问题四：为什么先研究线面垂直？

点评：体现了研究新问题时常用的由特殊到一般、由简单到复杂的思想.

问题五：为什么要研究线面垂直？

教学过程：让学生举出生活中的实例和几何体中的实例.

点评：感受线面垂直的重要性.

总评：“问题引领，自主建构”的教学模式中，创设情境通常可以有以下几个途径：（1）以数学故事和数学史实创设趣味型问题；（2）以数学知识的产生、发展过程来创设知识性问题情境；（3）以数学知识的现实价值创设应用型问题情境；（4）以“数学悬念”创设“悬念型”问题情境；（5）以数学活动和数学实验创设活动型问题情境；（6）以计算机为工具创设动画型问题情境.A老师以数学知识的产生、发展过程来创设知识性问题情境，并且重视了知识的最近发展区原则，注重了学生的思维，增加了课堂的思维容量，在授课过程中表现亲和，不断地对学生予以鼓励和肯定，营造了安全、和谐的课堂氛围，课堂如同荡漾着自由之波的一方池塘；同时，A老师以问题串的形式复习线面关系，通过不断追问、反问，层层递进，引发了学生的认知冲突，给学生留有了探索空间，调动了大多数学生的思维，同时也勾勒出了本节课的研究线路.本节课的情境创设很好地体现了该模式的特点.

启发引导，造一方池塘

问题六：你认为应该研究直线和平面垂直的哪些内容？

点评：培养了学生的模仿类比能力.

问题七：圆锥的轴与底面的任意一条线是什么关系？

教学过程：通过几何画板动态展示圆锥的定义，让学生观察思考，探究发现.教师此处追问了三个小问题：（1）圆锥的底面是如何形成的？（2）圆锥的轴与底面是什么关系？为什么？（3）圆锥的轴与底面不过圆心O的直线m是什么关系？问什么？

点评：问题引领，逐层递进，实践与思考并重.

总评：A老师在启发引导部分继续通过二个主问题、三个支问题，让学生展开积极的思维活动，很好地体现出了教师自己的启发者、合作者、引导者和促进者的作用.“问题引领，自主建构”模式要求教师要具备强烈的问题意识和较强的提出问题的能力，还要懂得多种措施的引入，以促进学生的思维活动的开展，A老师此处几何画板的动态展示起到了锦上添花的作用. 尤为值得称道的是，A老师始终努力构建着拥有创新之泉的一方池塘，给学生以主动，引导学生边学边思，想方设法让学生经历问题的发展和生成过程，重视学生数学思维的培养.

意义建构，敲一块燧石

问题八：你能给直线与平面垂直下定义吗？

点评：由于前面七个问题的铺垫，定义的生成就显得水到渠成.此处培养了学生的概括能力.

定义生成：如果一条直线a和平面α内的任意一条直线都垂直，则称a和平面α互相垂直，记作a⊥α.

记为：任意l？奂αa⊥l？圯a⊥α.

图1

教学过程：A老师在定义生成之后，让所有学生在座位上思考并让学生书写了定义的符号语言，其中一位上黑板的学生在条件中多写了l？埭α这一条件，A老师并没有立即指出问题，而是提出问题并引导学生通过手中的纸和笔来推敲该条件的必要性，同时也肯定了该同学思考问题的严谨.

点评：此处培养了学生语言转化能力.

词语辨析：“任意”等价于“所有”吗？等价于“无数”吗？

反例辨析：圆锥的母线垂直于底面吗？

点评：词语辨析和反例辨析让学生加深了对定义的理解.

例1：求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.

教学过程：A老师让学生在座位上完成，教师走动查看，适当点拨个别学生，最后通过实物展台展示一位学生的证明过程.该学生的证明过程如下：

证明：

a⊥α任意m？奂α？圯a⊥ma平行于b？圯任意m？奂α任意m⊥b？圯b⊥α.

图2

本段教学实录：

师：说说你的思路！

生：先在平面内作一条直线.

师：m是吧？写了吗？

生（惭愧）：哦！没写！

师：然后呢？

生：然后它是任意一条平面内的直线，直线a⊥α，所以得到直线a垂直于平面内的任意一条直线m. 然后a∥b，所以能得到b垂直于任意一条直线m，然后任意直线m属于α，所以b⊥α. （此处，学生表述有误，应为包含于）

师：嗯！你觉得在解题过程中最大的体会是什么？不停地在用什么啊？

生：垂直！

师：嗯！垂直！也就是说不停地在用线线垂直和线面垂直的转化. 好！你先请坐！

师总结：好，刚才第一个问题，是我发现的，作了一条直线m，但是没有进行书写.那么有没有其他同学再来发表自己的看法. （停顿）这个书写过程中，还有什么要完善的？谁发现的就站起来，主动一点，没关系，不要低声在下面说，来跟我们一起分享. 这位女生，你说说看.

生：我觉得应该不用写任意.

师：不用写任意，为什么？

生：在随意画直线的时候，在画直线的时候就已经表示出来了.

师：哦！在这边我们要强调一下. 只要在用条件时我们要保证它的充分性，一定要保证书写的完整，这任意还是需要的. （强调）（停顿）好，我们来看这位同学的. 这就是刚才说不要写任意的那位女生的，大家来观察，她没有写任意，但和刚才的过程比较，她多了什么啊？

（实物展台展示）？摇

已知：a∥b，a⊥α，证明：b⊥α.

（和第一位女生基本相同）

生（异口同声）：已知，求证.

师：嗯！你们觉得有必要吗？大家看，原来的题目当中，有没有直线a、直线b和平面α，所以文字语言叙述的命题，为了证明时表述的方便，我们首先要用符号语言将它表示出来，并画图辅以证明，这样才能够表述准确.

师（总结，同时幻灯片展示）：好，通过这道题，我们一起来回顾一下. 在这道题当中，已知线面垂直，根据定义能得到（停顿，等学生回答）线线垂直. 那么要求证什么呢？线面垂直.可以由什么得到？（停顿，学生集体回答：线线垂直）这样我们就用定义将这道题得到了圆满的解决. 好，那么在实际应用中，工人要想用定义验证旗杆是不是和地面垂直，那他就得来验证旗杆与底面所有直线垂直，这显然很难操作. 那有没有更简洁的方法呢？（提出问题九，引出判定定理，并由实际操作的困难，让学生认识到判定定理产生的必要性）

问题九：判定直线与平面垂直有没有简便的方法？

教学过程：此处，A老师设计了实验过程，让学生动手使用课本，实验把书立在桌面上，看如何使得书脊所在的直线与桌面垂直，通过设置实验过程，让学生归纳总结. 然后教师提出两个问题：（1）这本书至少要有几页才能做到让书脊与桌面垂直？（2）让同学们拿出讲义纸折叠，思考折痕满足什么样的条件时就可以使得折痕与桌面垂直？最后，A老师辅以了生活中的实例加以验证，最终总结归纳出了直线和平面垂直的判定定理.

点评：让所有学生参与活动，不同层面的学生均有所获，体现了分层教学的思想.

判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面.

记为：a⊥ma⊥nm∩n=Am，n？奂αn？奂α？圯a⊥α.

图3

总评：A老师调控课堂的能力比较强，整个课堂如同游弋着“快乐”之鱼的“一方池塘”，通过实物展示，提问和追问，进一步暴露学生思维中的漏洞，对学生既有温馨的提醒，又有恰到好处的肯定和总结，主导作用得到了很好的发挥. “问题引领，自主建构”教学模式要求教师要成为学生建构意义的帮助者，同时为了使得建构更有效，教师应在可能的条件下组织协作学习（开展讨论交流），并对协作学习过程进行指导. 建构过程中要有适当的问题提出，要和学生在互动中将问题进一步深化，以加深学生对所学内容的理解.

操练拓展，点一束火焰

问题十：怎么检验旗杆和地面垂直呢？

点评：前后呼应，解决问题.

例2：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：侧棱BB1⊥平面ABCD.

点评：操练矫正.

教学过程：该处教师在处理时没有做过多纠缠，主要是通过让学生观察思考，当堂回答，然后直接进入性质定理的生成部分.性质定理的生成部分又如同一个小循环，师生互动经历了“提出问题→分析和解决问题→意义建构”.

A老师很有教学智慧，面对一位站起来回答问题的学生，提出：

问题十一：你和我都垂直于地面，那么把我们看成直线，会有什么关系？

点评：性质定理的证明是本节课的难点，教师通过教学智慧引出问题，很精彩.

问题十二：已知：a⊥α， b⊥α，证明：a∥b.

教学过程：A老师让学生当堂练习，展示了三个学生的错误的证法，进行分析，最终提出证法.

点评：证明过程中，学生都知道在平面内找条线，但是在随后的证明中，学生找不到正确的途径推出线线平行，教师此时没有急于求成，而是给学生时间思考错误原因，提出“两条线在一个平面内吗”，“能不能让它们在一个平面内呢”，“不能实现在一个平面内，我们还有什么途径证明呢”，最终引导学生联系到反证法.

性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行. （图形和符号语言略）

总评：此处内容是本节课的难点，反证法的出现比较突兀，教师让学生亲身经历克服困难，循循善诱，突破了该难点，也做到了“授之以渔”，而不是“授之以鱼”.

归纳反思，收一地金黄

问题十三：通过本节课的学习，你有哪些收获？学了哪些知识？掌握了哪些方法？体会了哪些思想？

总评：“问题引领，自主建构”的教学模式需要教师重视学生反思习惯的培养，让学生用自己的语言谈心得体会，既要有知识的总结，又要有思想方法的总结，多层面揭示问题本质，充分贯彻落实三维教学目标，A老师做到了这一点.

后记

A老师在本节课实施上，由于充分尊重了学生的主动性，在意义建构部分多花了点时间，造成有些“前松后紧”的现象，在归纳反思部分实施时没有足够的时间让学生阐述充分，但瑕不掩瑜.

1. 一处点睛之笔

提出反证法之后，A老师向学生介绍反证法的流程，但并没有按照反证法原封不动的讲解，主要原因源于学生在假设a与b不平行以后，直接说他们相交或异面，教师没有生拉硬拽地将学生拉回到课本上的思路，而是在黑板上直接画图，提出如果相交，面内的那条线如何寻找；如果异面，又该怎样处理异面直线的位置关系. 学生知道在直线上取点作平行線之后，又有了一些区别，有的学生说直接取b与平面的交点，有的说直接在b上取点，教师分别都予以了阐述. 这当中的课堂形式相对复杂，教师从学生的的思维中，努力寻找出学生思维的闪光点，予以肯定.

教育的价值在于帮助人以一切可能的方式成为实现他自己潜能的主人，笔者看到了教师的努力.

2. 一些教学建议

一堂好课需要教师始终关注学生的发展，遇到突发情况及时变通因势引导，教学行为才会合理有效. “问题引领，自主建构”模式最重要的特点是强调问题为过程的载体，强调突出学生的主体地位和教师的主导作用，强调了学生的自主构建知识. 一节“问题引领，自主建构”的课堂是要把独立思考、反思质疑、建构内化贯穿始终. 教师在课堂上最大的作用是搭建支架，引领学生发挥个人认知与群体交流的能动性，在师生、生生的互动、碰撞中，发现规律，掌握规律. 课堂教学中笔者提出以下六点供大家探讨：情境设计要立足学情；教学过程要以问题为主线；意义建构要尽量自然生成；例题、堂练要层次化设计；问题解决要有化归思路；教学方式要开放互动.