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2016年高考数学四川卷理科21题的思路发现

2017-07-11李秀萍赵思林

数学教学通讯·高中版 2017年6期
关键词:数学探究高考数学

李秀萍+赵思林

[摘 要] 关于2016年高考数学四川卷理科21题解法的思路发现,可从直接构造函数(探求并发现a的边界值)、将含x的项与常数分离、分离参数以及高等数学背景等角度着手进行.

[关键词] 高考数学;四川卷;思路发现;数学探究

问题是数学的心脏,数学问题解决是解题教学的核心任务. 解决数學问题的关键是解题思路的探索与发现,数学解题思路的发现常常需要敏锐的观察,广泛的联想,大胆的猜想,也需要尝试与预估、经验与顿悟、机遇与灵感. 发现教学(发现学习)是培养创新人才的重要方式,其时机一般出现在数学问题解决的思路的探索与发现上. 2016年高考数学四川卷理科21题第(Ⅱ)问是一个解题思路难以发现的问题.下面对该题的解题思路的探索与发现,从直接构造函数(探求并发现a的边界值)、将含x的项与常数分离、分离参数以及高等数学背景等角度进行一番分析与探究.

2016年高考数学四川卷21题是:

设函数f(x)=ax2-a-lnx,其中a∈R.

(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;

(Ⅱ)确定a的所有可能取值,使得f(x)> -e1-x在区间(1,+∞)内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数).

关于第(Ⅰ)问的思路发现与解答,考生感到不困难. 现只列出其解答:

f′(x)=2ax- = (x>0).

当a≤0时, f′(x)<0,f(x)在(0,+∞)上单调递减.

当a>0时,由f′(x)=0,有x= . 此时,当x∈0, 时,f′(x)<0,f(x)单调递减;当x∈ ,+∞时,f′(x)>0,f(x)单调递增.

对于第(Ⅱ)问,关键是证明:2ax- + -e1-x>0(x>1). 这是一个含参数的不等式,左边有1个整式项,2个分式项,还有1个超越项.考生普遍感到这个不等式的证明的思路难以发现. 其原因主要有两个:一是需要预估a的取值范围中的边界值,在放缩过程中需要用到a的边界值,但其边界值不容易发现;二是e1-x< 的放缩不容易想到,为什么这样放缩也弄不清楚.这里最大的困难是,为什么要对e1-x进行放缩,并且用e1-x< 来放缩,这些从“标准答案”是看不出来的. 关于e1-x的放缩,可以通过分析与探究而得到.注意到e1-x是超越函数,它与前面的整式项和分式项都无法合并,从而也无法通过运算判断函数值的符号,因此,需要考虑对其进行放缩.怎样放缩呢?由于e1-x= ,自然想到将 的分母进行放缩,变为多项式结构. 比如,可以考虑 < (x>1),或 < (x>1),这样做的依据是泰勒公式(不必给学生补充):ex=1+x+ +…+ +…,但是 或 与不等式2ax- + -e1-x>0中的两个分式项仍然不好直接合并,而且如果通分则运算量也较大,所以考虑将 或 变得更简单一些.比如,考虑最简单的情况,尝试并猜想:e1-x< (x>1).下面探求并待定k的值,两边同乘以x·ex,即ex1)成立.

思路探究1 直接构造函数(探求并发现a的边界值)

首先证明:e1-x< (x>1). 事实上,命n(x)=ex-1-x,则当x>1时,有n′(x)=ex-1-1>0,所以n(x)在(1,+∞)上单调递增,从而n(x)>n(1)=0,即ex-1>x,所以e1-x< . 也可以通过构造对数式来证明:e1-x< (x>1)?圳1-x<-lnx?圳p(x)<0,其中p(x)=lnx-x+1(x>1). 由x>1,得p′(x)= -1<0,所以p(x)单调递减,因此p(x)

接着发现a的边界值. 设g(x)=ax2-a-lnx- +e1-x(x>1),问题等价于g(x)>0(x>1). 注意到g(1)=0,则有g(x)>0?圳g(x)>g(1). 又g′(x)=2ax- + -e1-x(x>1),并且g′(1)=2a-1. 若令g′(1)≥0,则a≥ . 由此可大胆猜想:a的取值范围是a≥ .

最后的工作是证明这个猜想.需分下面三种情况讨论:

(1)当a≥ 时,并注意到x∈(1,+∞),则有

g″(x)=2a+ - +e1-x≥1+ - +e1-x= +e1-x>0.

所以当a≥ 时,g′(x)在(1,+∞)上单调递增,

所以g′(x)>g′(1)=2a-1≥0,

因此g(x)在(1,+∞)上单调递增,

从而g(x)>g(1)=0,

故g(x)>0在x∈(1,+∞)上恒成立.

(2)当a≤0时,由(I)知,f(x)在(1,+∞)上单调递减,所以f(x)1)知, -e1-x>0,从而f(x)> -e1-x>0. 矛盾. 故当a≤0时,f(x)> -e1-x在区间(1,+∞)上不成立.

(3)当01,由(Ⅰ)知,f 1)有m >0. 故当0 -e1-x在区间(1,+∞)上不恒成立.

综合(1)(2)(3),得a∈ ,+∞.

说明:以下不再写出(2)(3)的证明过程.

思路探究2 将含x的项与常数分离

将含x的项全部写在左边,a写在右边,即ax2-lnx- +e1-x>a(x>1).

令h(x)=ax2-lnx- +e1-x(x>1),观察发现h(1)=a,问题转化为证明:

h(x)>h(1)(x>1).

由于h′(x)=2ax- + -e1-x(x>1),h′(1)=2a-1,令h′(1)≥0,从而可大胆猜想:a的取值范围是a≥ .

下面给出证明:令h(x)=ax2-lnx- +e1-x(x>1),当a≥ 时,2ax>1,并利用前面已证明过的e1-x< (x>1),从而

h′(x)>1- + - =1- 2>0.

(注:这是不同于参考答案的巧妙解法.)

所以h(x)在(1,+∞)上单调递增,从而h(x)>h(1)=a,即ax2-lnx- +e1-x>a在x>1时恒成立,即f(x)> -e1-x在(1,+∞)上恒成立. 故a∈ ,+∞.

顺便指出,用几何画板容易探索出答案.据说,本题是借用几何画板命制的.

思路探究3 高等数学背景之一(用洛必达法则探求并发现a的边界值)

a(x2-1)>lnx+ -e1-x(x>1)

?圳a> (x>1).

令φ(x)= ,则问题变为a>φ(x)(x>1)恒成立,从而只需a大于φ(x)的最大值或上确界. 凭经验,函数φ(x)的最大值或上确界可能在端点x=1处取得. 但此端点x=1不在φ(x)的定义域内,因此,问题可以变为先探求φ(x)在端点x=1处的右极限.

φ(x)= = = . 由此可猜想:a≥ .

下面证明:

(1)当a= 时,必有 x2- -lnx> -e1-x(x>1),

即x2-2lnx- +2e1-x-1>0(x>1).

令h(x)=x2-2lnx- +2e1-x-1(x>1),则

h′(x)=2x- + -2e1-x>2x- + -2· >2- + =21- 2>0,

所以h(x)在(1,+∞)上单调递增,所以h(x)>h(1)=0.

(2)当a> 时,利用(1)的结论,有

ax2-a-lnx=a(x2-1)-lnx> (x2-1)-lnx> -e1-x.

(3)当a< 时,同思路探究1.下面都不再赘述.

思路探究4 高等数学背景之二(利用拉格朗日中值定理)

令g(x)=ax2-a-lnx- +e1-x(x>1).

要证明ax2-a-lnx- +e1-x>0(x>1)( ),

(?鄢)成立?圳g(x)>0(x>1)

(x)>g(1)(x>1)

>0(x>1)

存在ξ∈(1,x),使得g′(ξ)>0

g′(ξ)=2aξ- + -e1-ξ>0,ξ∈(1,x)

2a> - + ·e1-ξ,ξ∈(1,x).

下面計算 - + e1-ξ的最大值或上确界.

方法1: - + e1-ξ< - + · <1- + - =1- ·1- 2<1.

所以2a≥1,即a≥ .

方法2:令 =t,则q(t)=2t2-t3(00,q(t)在(0,1)上单调递增,q(t)max

数学解题教学应重视思路的分析、探索与发现,在思路分析过程中提倡先估后算、先猜后证、多想少算. 思维是数学之魂,数学思维既包括在解题思路的探索与发现过程中常用到的估算、预判、猜想、归纳、类比、顿悟等直觉思维,又包括对数学算式精确计算、对数学命题严格证明的逻辑思维. 上述解题思路的探索与发现,问题解决的严谨与圆满,无疑对培养学生良好的数学思维能力是有益的.

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