《等差数列》第一课时说课稿

王秀文

[摘 要] 本文通过研究几个现实生活中的实例，归纳出一般等差数列的概念；并且根据归纳猜想和累加法得到了一般等差数列的通项公式，进一步也由例题和变式，使学生加深对这一特殊数列的认识和理解，以便能更好地把握其性质.

[关键词] 等差数列；公差；通项公式

教材分析

《2.2等差数列》是人教A版新课标教材《数学》必修5第二章第二节的内容.数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用. 一方面，本节内容是在学习了数列的一些基本知识之后，转入对特殊数列——等差数列的学习. 另一方面，学习等差数列为以后学习等差数列的性质、等差数列的前n项和公式提供了学习的基础，更为以后学习等比数列提供了类比的依据.

等差数列在日常生活中有着广泛的应用. 因此，教科书中配置了大量的实际生活中的等差数列问题，目的是希望学生能通过对日常生活中实际问题的分析，建立等差数列模型，用相关知识解决一些简单的问题. 在这个过程中形成等差数列的概念，加深对等差数列性质的理解，初步培养学生运用等差数列模型解决问题的能力.

本节课中，教科书还力图体现等差数列与方程、一次函数之间的联系.

学情分析

对于高二的学生，知识经验已经比较丰富了，也具备了一定的抽象思维能力和演绎推理能力. 并且学生之前的两课时已经学习了《数列的概念与简单表示法》，对数列的概念以及数列的通项公式，学生也有了一定的理解，这也为本课时的学习奠定了一些基础，学生也有能力通过一些特例得出这一特殊的等差数列的概念，并能进一步探究推导出等差数列的通项公式，以及进行实际问题的研究. 不同学习基础的学生，课前有不同的要求，在课上讨论时，基础好些的学生负责把本组内的待优生带好，争取共同进步.

教学目标

根据数学课程标准、教材内容以及学情的分析，确定本节课的教学目标如下：

（一）知识与技能目标

理解等差数列的概念；掌握等差数列的通项公式，并了解其推导过程及思想；初步引入“数学建模”的思想方法并能运用. 培养学生观察、分析、归纳、推理的能力；在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力；通过阶梯性练习，提高学生分析问题和解决问题的能力.

（二）过程与方法目标

在教学过程中采用讨论式、启发式的方法使学生深刻地理解不完全归纳法、叠加的方式探索等差数列的通项公式. 通过与一次函数的图像类比，探索等差数列的通项公式的图像特征与一次函数之间的联系.并且培养学生严密准确的数学表达能力；培养学生的观察能力、逻辑推理能力和合作探究能力；培养学生由特殊到一般的思维能力.

（三）情感态度与价值观

通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，渗透特殊與一般的辩证唯物主义观点，加强理论联系实际，激发学生的学习兴趣.培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯.

教学重点、难点

教学重点：理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式，会用公式解决一些简单的问题，体会等差数列和一次函数之间的关系.

教学难点：概括通项公式推导过程中体现的数学思想方法.以及从函数方程的观点看通项公式，并会解决一些相关的问题.

学法与教法

学生经过一段时间的学习，具备了一定的抽象概括和归纳推理的能力，对于基础薄弱的学生，在授课时，要注重从具体的生活实例出发，注重引导、启发学生研究和探讨，从而促进思维能力的进一步发展. 激发学生学习数学的兴趣，体会学习成功的快乐，增强学习的信心.

在教学过程中，依据教学内容，从现实生活中的特例引入，让学生归纳出等差数列的概念，强化学生由特殊到一般的数学思想，然后让学生进而推导出等差数列的通项公式，组织和启发学生获得公式的推导思路，并且充分引导学生展开自主、合作、探究学习，通过生生互动、师生互动等形式，让学生在问题解决中学会思考，学会学习.

教学手段：多媒体，投影仪

教学过程

教学过程包括以下几个环节：

（一）独立自学

1. 走进探知园，导入新课

教师提出问题：上两课时我们学习了《数列的概念与简单表示法》，你能回顾一下数列的定义是什么？它的几种表示方法有哪些呢？

设计意图：这样处理是为了让学生从中学会提出问题、研究问题的方法.

学生回答：按照一定顺序排列的一列数称为数列；数列的表示方法有：列举法、通项公式、递推公式、图像法.

教师提出问题：我们知道实数之间有四则运算，那像数列这样的一类特殊的数之间运算和性质又是怎样的呢？下面我们从特殊的数列入手研究这些问题.看这样一些数列的例子：（课本36页的4个例子）

①0，5，____，____，____，____，…；

②48，53，58，63，____，…；

③18，15.5，13，10.5，8，____，…；

④10072，10144，10216，10288，10360，

____，….

请你们在横线上填写相应的数据，并观察上述数列①②③④从第2项起，每一项与前一项的差分别又是什么呢？

设计意图：给出等差数列的现实背景，让学生切实感受到等差数列是现实生活中大量存在的数列模型. 通过观察，给了学生一定的思考和探索的空间，让他们自己通过观察、归纳、猜想等认识到等差数列的特性.

学生回答：第一个数列依次填写10，15，20，25，差为5；第二个数列填68，差为5；第三个数列填5.5，差为-2.5；第四个数列填10432，差为72.

教师提问：给出的这四个例子有什么共同特点吗？

设计意图：引导学生逐一观察它们的特征，并进行概括. 这时，一方面引导学生观察相邻两项间的关系，另一方面要结合对这四个数列的具体探索，让学生通过“归纳”和“概括”发现数列①②③④的共同特征.

学生回答：这四个数列，从第2项起，每个都具有相邻两项差为同一个常数的特点.

教师：由以上的探讨我们可以看出，这四个数列的共同特征：从第2项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；我们给具有这种特征的数列起一个名字叫等差数列. 这就是我们这节课要研究的数列.

2. 探究新知，归纳概念

等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫作等差数列，这个常数就叫作等差数列的公差，公差通常用字母d表示.

教师提问：大家能尝试用递推公式描述等差数列的定义吗？小组内讨论一下.

设计意图：让学生利用前后知识的联系，把文字语言转化成数学符号语言.

学生回答：对于数列{an}，若_____，则此数列是等差数列，d叫作公差.

教师：定义中注意的地方是什么呢？若把从第2项起，改为从第3或4项起，还是等差数列吗？应该如何理解呢？

设计意图：学生在学习中经常遇到一些概念，能否抓住定义中的关键字，是能否正确地、深入地理解和掌握概念的重要条件，更是学好数学及其他学科的重要一环. 因此教师应该教会学生如何深入理解一个概念，以培养学生分析问题、认识问题的能力.

学生讨论回答：“从第二项起”、“后项减去前项”、“同一个常数”. 从第3或4项起，数列{an}就不是等差数列了，但是去掉第1、2两项后，可以看作是等差数列.

教师提问：上面四个数列都是等差数列，它们的公差分别是什么呢？你还能举出日常生活中等差数列的一些例子吗？我们上节课学习的三角形数：1，3，6，10，…；正方形数：1，4，9，16，…；斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21， 34，55，89，…等是等差数列吗？

设计意图：让学生用联系的观点看问题，培养实际中的发现能力.

学生回答：公差依次是：5，5，-2.5，72. 举办奥运会的年份：1896，1900，1904，…；男士衬衫的尺码：37，38，39，40，41， 42，43，44，45等. 三角形数、正方形数以及斐波那契数列都不是等差数列.

教师：在上节课中，我们知道一个数列的通项公式对这个数列的研究有重要的意义.那么同学们思考一下，数列①②③④的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？

学生举手回答：数列①通项公式为5n-5，数列②通项公式为5n+43，数列③通项公式为-2.5n+20.5，數列④通项公式为72n+10000.

教师：很好，这位同学用上节课学到的知识求出了这几个数列的通项公式，实质上这几个通项公式有共同的特点，无论是在求解方法上，还是在所求的结果方面都存在许多共性，下面我们来共同思考等差数列的通项公式求法.

（二）合作互学

1. 小组交流，合作探究

等差数列的通项公式

教师：一般地，如果一个等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则据其定义可得什么？

学生回答：a2-a1=d，

a3-a2=d，

a4-a3=d，

…….

an-an-1=d.

教师：很好，所以可以得到什么呢？

学生继续回答：a2=a1+d，

a3=a2+d=a1+2d，

a4=a3+d=a1+3d，

……

教师提问：很好，你能由此规律，归纳出等差数列的通项公式吗？

设计意图：让学生自己猜想通项，体会归纳、猜想在得出新结论中的作用.

学生回答：由上述各式可以归纳出等差数列的通项公式是an=a1+（n-1）d.

教师：由此看来，如果已知等差数列的首项和公差，就可求出来它的通项公式. 但是，这个公式只是等差数列通项公式的猜想，要是证明的话，需要用到数学归纳法或迭代法.这里我用叠加法给大家证明一下.

{an}是等差数列，所以

an-an-1=d，

an-1-an-2=d，

an-2-an-3=d，

……

a2-a1=d.

以上n-1个式子，两边分别相加得

an-a1=（n-1）d.

所以

an=a1+（n-1）d.

这样我们就通过叠加法证明得出了等差数列的通项公式了，以后在题目中可以直接使用了.

教师：等差数列的通项公式：an=a1+（n-1）d（n∈N*）. 这个式子包含几个量呢？它和一次函数有什么关系呢？在下面的例题中我们分别看一下.

教师：下面我们来做下例题，看看如何运用等差数列的通项公式.

2. 典题剖析，运用新知

例1：（1）求等差数列8，5，2，…的第20项；

（2）-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？如果是，是第几项？

教师提问：（1）中这个等差数列的首项和公差分别是什么？你能求出它的第20项吗？

学生回答：首项和公差分别是a1=8，d=5-8=-3，又因为n=20，所以由等差数列的通项公式，得a20=8+（20-1）×（-3）=-49.

教师：好！下面我们来看看第（2）小题怎么做.

由a1=-5，d=-9-（-5）=-4，得数列通项公式为an=-5-4（n-1）=-4n-1.

由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得-401=-4n-1成立，解之得n=100，即-401是这个数列的第100项.

设计意图：让学生把方程思想和通项公式相结合，解决等差数列的问题. 实质上通项公式就是an，a1，d，n这四个量所组成的方程（知道其中三个，我们可以求第四个量）.

说明：（1）强调当数列{an}的项数n已知时，下标应是确切的数字；（2）实际上是求一个方程的正整数解的问题.这类问题学生以前见得较少，可向学生着重点出本问题的实质：要判断-401是不是数列的项，关键是求出数列的通项公式an，判断是否存在正整数n，使得an= -401成立.

例2：已知数列{an}的通项公式an=pn+q，其中p，q是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？

例题分析：

教师提问：由等差数列的定义，要判定{an}是不是等差数列，只要根据什么？

学生回答：只要看an-an-1（n>1）是不是一个与n无关的常数.

教师：那好，大家在练习本上自己试着来求一下.

学生做：取数列{an}中的任意相邻两项an与an-1（n>1），求差得：an-an-1=（pn+q）-[p（n-1）+q]=p（與n无关的常数）. 所以我们说{an}是等差数列，首项a1=p+q，公差为p.

教师强调：（1）若p=0，则{an}是公差为0的等差数列，即为常数列q，q，q，…；

（2）若p≠0，则an是关于n的一次式，从图像上看，表示数列的各点（n，an）均在一次函数y=px+q的图像上，一次项的系数是公差p，直线在y轴上的截距为q. 所以当公差p>0时，数列{an}为递增数列，当公差p<0时，数列{an}为递减数列.

（3）数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为项数n的一次型函数.

3. 当堂检测，交流展示

（1）求等差数列3，7，11，…的第4项与第10项.

分析：根据所给数列的前3项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所求项.

解：根据题意可知a1=3，d=7-3=4，所以该数列的通项公式an=3+4（n-1）=4n-1，所以a4=4×4-1=15，a10=4×10-1=39.

评述：关键是求出通项公式，要求学生注意解题步骤的规范性与准确性.

（2）100是不是等差数列2，9，16，…的项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由.

分析：要想判断一个数是否为某一个数列的其中一项，其关键是要看是否存在一个正整数n值，使得an等于这个数.

解：根据题意可得a1=2，d=9-2=7.因而此数列通项公式an=2+7（n-1）=7n-5.

令7n-5=100，解得n=15，所以100是这个数列的第15项.

（3）-20是不是等差数列0，-3 ，-7，…的项，如果是，是第几项？如果不是，请说明理由.

（4）已知数列的通项公式an=6n-1.问这个数列是等差数列吗？若是等差数列，其首项与公差分别是多少？（让学生进一步体会等差数列的通项公式和一次函数的关系）

（5）已知等差数列{an}的通项公式an=3-2n，则它的公差d为（ ）

A. 2 B. 3 C. -2 D. -3

（6）若数列{an}的通项公式为an=10+lg2n，试说明数列{an}为等差数列.

（三）导学提升，课堂小结

教师提问：（1）本节课你们学了什么？（2）等差数列的判断方法有哪些？（3）用到的数学思想方法有哪些？

设计意图：让学生反思、归纳、总结，以此来培养学生的概括能力、表达能力.

学生回答：通过本课时的学习，首先要理解和掌握等差数列的定义及数学表达式an+1-an=d（n≥1，n∈N*），其次要会推导等差数列的通项公式an=a1+（n-1）d.

教师：本课时的重点是通项公式的灵活应用，知道an，a1，d，n中任意三个，应用方程的思想，可以求出另外一个.最后，还要注意一重要关系式an=pn+q（其中p，q是常数）的理解与应用.判断一个数列是否为等差数列，有两种方法：定义法、通项公式法.体会归纳猜想的方法、累加法、方程及函数等数学思想方法.

（四）布置作业：课本第40页，习题2.2 A组第1题.