例析点差法解决双曲线的点线对称问题

余隆兰+梁显定

[摘 要] 椭圆抛物线均可用“点差法”求出中点的坐标，再利用中点在其内部建立不等式，解决点线对称问题. 但是双曲线的弦的中点不一定在双曲线的内部，因此鲜有文章予以解读. 笔者通过一个实例剖析如何利用“点差法”解决双曲线中的“点线对称问题”.

[关键词] 双曲线；点线对称；点差法

圆锥曲线上存在两点关于某动直线对称的问题（以下简称“点线对称问题”），是解析几何中一类综合性较强的问题，通常可以联立方程组消元得出中点的坐标，再利用韦达定理建立不等式（以下简称“判别式法”）进行求解. 但是“判别式法”计算烦琐，学生不易准确掌握.对于椭圆、抛物线均可利用点差法求出中点坐标，再利用中点在椭圆、抛物线内部建立不等式（以下简称“点差法”），可以大幅地简化计算. 但是双曲线的弦的中点所满足的约束条件难以确定，因此鲜有文章予以解读. 笔者通过一个实例剖析如何利用“点差法”解决双曲线中的“点线对称问题”，愿与读者相互切磋，共同探究.

命题：设双曲线C： - =1（a>0，b>0），点P（x0，y0）为平面内一点，当且仅当 - >1或 - <0，即点P在如图1所示的阴影区域内时，存在过点P的弦AB，使得点P为AB的中点.

证明：“必要性”

当点P在如图1所示的阴影区域内，且在x轴上时，显然存在过点P的弦AB，使AB的中点为P.

当点P（x0，y0）在阴影区域内，且点P不在x轴上时，有 - >1或 - <0且y0≠0.

设直线l：y-y0= （x-x0），则点P（x0，y0）在直线l上.

下证直线l与双曲线C相交于两点，设交点为A，B.

当点P在双曲线内部（阴影区域①②内），且点P不在x轴上时，

因为 - >1，所以 > ，x0> y0，

kl= > ，即kl> 或kl< - .

由于点P在双曲线内部，结合图形知，直线l与双曲线的某一支有两个交点.

同理，当点P在阴影区域③④内，且点P不在x轴上时， - <0，则x0< ·y0.

k = < ，-

点P在阴影区域③④内，结合图形知，直线l与双曲线的左右两支各有一个交点.

下证点P为弦AB的中点：

设直线l与双曲线C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），点M（xM，yM）为弦AB的中点.

因为A（x1，y1），B（x2，y2）均在双曲线上，

所以 - =1且 - =1.

将两式相减，整理得 = = ，

kl= = ， = .

设 = =λ，则xM=λx0，yM=λy0.

因为点M（xM，yM）在直线l：y-y0= （x-x0）上，

所以λy0-y0= （λx0-x0）（y0≠0），

（λ-1） -1=0.

因为 - <0，所以 -1<0，λ=1.

故点P与点M重合，即点P为弦AB的中点，得证.

“充分性”

假设在双曲线上存在两点A（x1，y1），B（x2，y2），使得点P（x0，y0）为弦AB的中点.

当A，B两点在双曲线的同一支上，显然点P在双曲线内部（阴影区域①②内），满足 - >1.

当A（x1，y1），B（x2，y2）两点分别在双曲线左右两支上时，

- =1且 - =1，将两式相减，整理得 = = .

因为kAB= < ，

所以 - <0，证毕.

例：已知双曲线C：x2- =1上存在关于直线l：y=kx+4的对称点A，B，求实数k的取值范围.

解法一（判别式法）：设A（x1，y1），B（x2，y2）两点是符合题意的两点，其中点为M（x0，y0），

当k=0时，不满足题意；

当k≠0时，设直线AB的方程为y= - x+m，

联立直线与双曲线的方程

y=- x+m，x2- =1

（3k2-1）x2+2mkx-（m2k2+3k2）=0.

k2≠ 且Δ=4m2k2+4（3k2-1）（m2k2+3k2）>0，

化简得：k2≠ 且m2k2+3k2-1>0（1），

x1+x2=- =2x0，x0=- .

因为点M（x0，y0）在直线AB上，

所以y0=- ·- +m= .

因为点M（x0，y0）在直线l：y=kx+4上，

所以 =- +4，m= （2），

将（2）带入（1）得 k2+3k2-1>0，

化简得12k4-7k2+1>0，

k2> 或k2< ，

- 或k< - .

解法二（点差法）：设A（x1，y1），B（x2，y2）两点是符合题意的两点，其中点为M（x0，y0），

当k=0时，不满足题意；

當k≠0时，x - = 1且x - =1，

将两式相减，整理得 = = ，

kAB= =- ，y0=-3kx0（1）.

因为点M（x0，y0）在直线l：y=kx+4上，所以y0=kx0+4（2）.

由（1）（2）得x0=- ，y0=3.

由命题得，x - >1或x - <0，

- -3<0或- -3>1，

- 或k< - .

利用点差法解决点线对称问题可以避免繁杂的计算，学生更容易掌握.至此，无论是椭圆双曲线还是抛物线均可利用点差法求解，只是双曲线的弦AB的中点所满足的约束条件与椭圆、抛物线有差别.