巧用变式，有效延展

吕进智

[摘 要] 变式教学是初中数学中常用的教学方法. 本文从教学实践出发，以类比变式、模仿变式、阶梯变式、新旧变式、背景变式为例，探讨了变式教学的实施策略.

[关键词] 初中数学；变式教学；教学策略

变式教学是一种典型而又传统的数学教学方法，初中数学教师结合教学需要，灵活地运用变式教学，能够有效拓展学生对数学知识的理解，提升学生对数学方法的掌握.

类比变式，延展学生对含义的

理解

抽象性和概括性是初中数学的基本特点，也是很多学生理解困难的症结所在. 这些知识中往往包含很多隐性内容，如果仅仅依靠教师讲解，很难帮助学生充分领悟. 面对此类问题时，假如教师采用类比变式教学，则可以引导学生延展对含义的理解.

例如，引导学生认识“分式的意义”时，分式值等于0包含两层含义：一是分式的分子等于0；二是分母不等于0. 所以，如果对于问题“当x等于何值时，分式等于0”，只需对概念进行机械套用即可. 但学生不一定能对“分子等于0且分母不等于0”产生清晰的认识，特别是他们对“分母不等于0”意义的了解并不深刻. 而如果采用变式教学，情况则会大大改观.

变式1 当x满足什么条件时，分式等于0？

变式2 当x满足什么条件时，分式等于0？

变式3 当x满足什么条件时，分式等于0？

通过以上变式训练，学生对概念的理解将得到进一步加深，对其本质也将形成更加深刻的认识. 教学中，教师为学生呈现形式上较为相似的数学表达，能促成学生对其展开比较和分析，这样的变式教学有助于学生掌握相关知识的本质，并能引导学生更加深入地探索问题的内涵与外延.

模仿变式，拓展学生对方法的

掌握

数学方法是初中数学教学的重要内容之一，相关方法的掌握往往需要教师对问题情境和提问方式进行适当调整，让学生在模仿的过程中熟悉其具体操作. 所以，初中数学教师要善于挖掘有关素材，并設计变式问题，从而为学生提供通过模仿操作来拓展方法掌握的情境.

例如，为了帮助学生掌握全等三角形的判定方法——“SSS”，教师可以引导学生搭建如下变式训练的框架.

例题 如图1，△ABC为等腰三角形，AB和AC为腰，AD为底边中线，求证：△ABD≌△ACD.

变式1 如图2，AB=AD，CB=CD，△ABC与△ADC全等吗？

变式2 如图3，C为AB的中点，且AD=CE，CD=BE，求证：△ACD≌△CBE.

变式3 如图4，B，E，C，F为同一条直线上的四个点，且AB=DE，AC=DF，BE=CF，求证：∠A=∠D.

为了帮助学生熟练掌握“SSS”这一判定方法，教师先安排例题让学生进行简单训练，其中的等量关系较为直接，只要检验条件是否完备，即可实现问题的解决. 变式1属于例题的直接变形，旨在让学生直接进行模仿，同时进一步提升学生对“SSS”的理解；后两个变式都较为直接地给出两条对应边相等的关系，但是第三条对边相等的关系需要学生进行简单地推证，特别是最后一个问题，已经具有综合的意味. 全等三角形的证明并不是问题的终结，教学中，我们可以将例题和变式1放在课堂上让学生进行分析和解决，后面两个变式让学生在课后自主分析，从而拓展他们对方法的掌握.

阶梯变式，拓展学生对问题的

探究

初中数学具有明显的形式化趋势，而学生恰恰对形式化内容的理解颇为头疼. 他们对某些规律进行形象化归纳时，经常感到无从着手. 所以，教师立足于学生的实际水平，设计阶梯型的变式教学，能够引导学生对变式问题的“变化量”进行深入探索，最终帮助学生实现对规律的总结.

例如，引导学生分析二次函数y=ax2图像的顶点、开口方向、对称轴等规律与a取值的关系时，教师需要以变式教学的方法来推动学生的探索过程，最终让学生结合一系列探索结果总结相应的规律. 首先，教师先让学生用描点法画出二次函数y=x2，y=2x2，y=x2的图像，然后由学生通过观察，比较三个图像之间的相同点和不同点，最后，学生可形成结论：（1）三个图像都具有对称性，且对称轴都是y轴；（2）三个图像的顶点都是原点；（3）三个图像都开口向上. 接着，教师开始通过变式引导学生深化认识. 由学生继续用描点法画出y=-2x2和y=-x2的图像，在此基础上将现有图像和之前所画的图像进行比较，学生发现前两个结论依然成立，但是第三个结论存在不同，于是学生进行总结：抛物线的开口方向与二次函数二次项系数有关，系数为正时，开口向上；系数为负时，开口向下.

研究函数问题或几何问题时，教师可以从一个对象拓展到多个对象，从而引导学生对有关对象进行分类和对比，最终实现规律的深层次认识.

新旧变式，拓展学生的认知范围

奥苏贝尔指出，学生应该在新旧知识之间建立符合以下标准的联系：一是合理联系；二是实质联系，否则就是死记硬背的僵化认知. 初中生掌握基础知识和概念是他们解决问题的基本前提，也是他们拓展认知的基本前提. 教学中，教师不能直接告诉学生结论，而应根据学生的已有经验和认知基础来设计问题，进而创设具有变式性质的问题情境，让学生对其进行分析和研究，最终在问题解决中获得知识.

例如，学生结合四边形以及中位线的认识，能够很轻松地辨析以下问题：依次连接任意一个四边形各边的中点可以得到一个中点四边形，它属于什么图形？为了拓展学生的认知范围，我们可以提出以下变式——

变式1 依次连接矩形各边中点所得的四边形是什么图形？

变式2 依次连接菱形各边中点所得的四边形是什么图形？

变式3 依次连接正方形各边中点所得的四边形是什么图形？

变式4 依次连接哪一类四边形各边中点可得到菱形？

变式5 依次连接哪一类四边形各边中点可得到矩形？

变式6 依次连接哪一类四边形各边中点可得到正方形？

通过上述一系列变式问题，学生将对“四边形”这一章的基础知识获得整体性把握，同时能对特殊四边形相关性质与方法，以及三角形中位线知识形成较为深刻的认识. 此外，学生还将从中发现四边形各边中点连线所构成的图形与原四边形对角线有着密切的联系，这将大大拓展学生问题解决的思路，活跃他们的思维.

背景变式，拓展学生的思维训练

引导学生对数学思维进行训练时，教师还可以对问题的背景进行重新设计，进而展开变式训练. 教师可从不同角度改编题目，并组织学生在解题后进行充分反思，从而归纳出某一类问题解决方法的形成思路和操作程序. 教师改变原有问题的基本条件，可以让学生切换问题研究的视角，让学生能够适应不同情境下的信息发掘和问题处理，这有助于提升学生思维的灵活性和严谨性.

例题 已知等腰三角形的顶角等于40°，求其底角的度数.

变式1 已知等腰三角形的底角等于70°，求其顶角的度数.

变式2 已知等腰三角形的一个角等于40°，求该三角形其他两个角的度数.

变式3 已知等腰三角形的一个角等于140°，求该三角形其他两个角的度数.

上述设计中的变式1是训练学生的逆向思维能力；变式2则需要学生变换问题处理的思路，问题设计上具有一定的灵活性：这个角可以是底角，也可以是顶角，需要学生进行分类讨论；变式3貌似与变式2类似，但实际上学生需要判断140°为钝角，它不能充当等腰三角形的底角. 通过上述一系列变式训练，我们可以引导学生更加全面地分析并解决问题，这能帮助学生消除思维定式的影响，优化学生的思维品质.

在初中数学教学中，变式教学是根据教学内容的基本特点、教学对象的认知需求以及教学环境形成的教学方法，要让该方法收到较好的教学效益，教师必须明确学生是学习活动的内因，变式教学作为外因，能够拓展学生认知发展和能力提升的空间，能够促进学生知识的内化过程.