基于“直观想象”数学核心素养的解题策略<br/>——以浙江省2016年高考理科第19题为例

基于“直观想象”数学核心素养的解题策略
——以浙江省2016年高考理科第19题为例

2017-04-24吕增锋邮编315731

中学数学教学 2017年2期

关键词：直观想象交点个数

吕增锋 (邮编：315731)

浙江省象山县第二中学

基于“直观想象”数学核心素养的解题策略
——以浙江省2016年高考理科第19题为例

吕增锋 (邮编：315731)

浙江省象山县第二中学

直观想象是高中数学六大核心素养之一，其指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的过程.直观想象是发现和提出数学问题、分析和解决数学问题的重要手段，是探索和形成论证思路、进行逻辑推理、构建抽象结构的思维基础.在数学解题中，直观想象更是不可或缺的重要思维与工具.很多看似复杂，无从下手的数学问题，借助直观想象就可能很容易获得解题的捷径.下面以浙江省2016年高考理科第19题为例，谈谈对此的看法.

(I)求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长(用a、k表示)；

(II)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.

直接解法

设动圆的半径为r,则动圆与椭圆的交点个数就转化为方程根的个数.

②

(i)f(y)=0的唯一解位于区间[-1,1]上，此时圆与椭圆最多有2个交点.

(ii)f(y)=0的唯一解不在区间[-1,1]上，此时圆与椭圆无交点.

1 利用图形描述，理解问题本质

导致解题过程繁琐的很大一部分原因是对“题意”的理解不够透彻，没有深入到问题的本质.当题目呈现的关系比较复杂时就很难从字面上直接获得解题的线索，这时如果借助“图形描述”手段，即把“自然语言”转化为“图形语言”就容易找到问题的突破口.“图形描述”可以是学生动手作图，也可以是教师通过计算机软件演示.

对于上述题目来说，解题的关键是要搞清楚“圆的半径”、“交点个数”、“离心率”三者之间的联系.过A点作一系列半径大小不一的圆，发现圆与椭圆交点的个数有0、1、2、3、4等五种情况，而且交点的个数除了与圆的半径大小有关外，还与椭圆的圆扁程度相关，而离心率的大小决定了椭圆的圆扁程度，这就明确了条件与结论之间的联系.再类比问题(I)，发现直线y=kx+1恰好经过定点A，AP就是圆与椭圆的一条相交弦.连结点A与交点，就得到一条相交弦；有几个交点便有几条等长的相交弦，交点问题就转化为弦长问题.至此，本题的解题思路就清晰起来了.

优化解法1

先考虑与椭圆有4个交点的情景，然后排除这种情景，就可以得到符合条件的结论.

2 挖掘几何意义，建立数形联系

数与形是一种特殊的对立，在一定条件下可以实现相互转化.数量关系获得几何解释，可以使问题变得直观易懂，使人易于洞察问题的本质.几何问题得到代数表示，可以使几何直觉，合情推理等转化为程序化操作的代数运算，实现化难为易的目的，并使人获得对问题的精确化、理性化的理解.

优化解法2

假设圆与椭圆的公共点有4个交点，则|AP|=|AQ|,则在椭圆的两侧各存在一个等腰三角形.这样就把“线段长度相等”的代数关系，转化为存在“等腰三角形”的几何关系，然后根据“等腰三角形底边中点”的位置关系列式求解.

3 运用动态想象，揭示运动规律

学生在视、知觉上表现出的最大障碍，可能就是不能有效地建立视、知觉符号和大脑中储存的图式或概念之间的联系，而动态想象是形成学生知觉形体特征的重要手段.动态想象不仅包含着图形的变化，更蕴含着数学思考.按照皮亚杰的研究，动态表象是学生数理逻辑经验生成的源泉，静态表象只能产生物理经验.动态想象是直观想象的翅膀，在数学解题中，运用动态想象，可以实现由被动感知到主动再现、由单一角度到多种角度来感知运动当中的不变量.

首先，若把题目中的椭圆看成圆，众所周知圆与圆最多有两个交点.由此我们得到启示：椭圆越接近于圆，越不会出现超过3个交点的情况，因此，椭圆的离心率越小越好.

其次，相交弦AP的长度是在变化的，易知其在椭圆上的某个位置取到最大值，只有当AP取到最大值的位置在椭圆短轴的下端点时才不会出现4个交点的情景，因此，从弦长最值出发，这道题的解答过程就会简洁得多.

优化解法3