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繁与简是一念间的事
——一道试题的解法探究与反思收获

2017-04-24束仁武邮编611731周纯舫邮编230001

中学数学教学 2017年2期
关键词:动点邮编道题

束仁武 (邮编:611731) 周纯舫 (邮编:230001)

安徽省合肥市庐江第四中学 安徽省合肥市庐江第二中学

繁与简是一念间的事
——一道试题的解法探究与反思收获

束仁武 (邮编:611731) 周纯舫 (邮编:230001)

安徽省合肥市庐江第四中学 安徽省合肥市庐江第二中学

问题是数学的心脏.在教学课余时,同学们总找一些感兴趣的问题跟我们交流.面对这种情况,我们虽然深知要有“一桶水”,但在没有参考答案的情况下,要一眼就能寻找到最优化的解题方案,我们还需不断研修.

我们对学生提问的问题时,不能“避难就易”,会的就解答,不会的就找借口,三两次下去,同学们就会对教师的解题水平产生怀疑,影响教师在学生心目中的可信度.所以,在同学们提出问题时,我们力求迅速指明解题思路,及时给出满意解答,但由于时间仓促,老师有时候也会犯傻.这正如罗增儒教授指出:解题笨拙与解题智慧相对,有时真是用了多余的知识,走了多余的思维回路,人为地拉长了解题的长度,表现为解题笨拙.当出现解题笨拙时,要通过反思,找回解题智慧.我们列举一个发生在身边的案例,进行剖析,体会“简繁之间只是一念之差”.

1 问题及解法探究

我们在上《几何证明选讲》专题后,就遇到这样的一幕:同学A兴冲冲拿着一道平面几何题来问我们.

图1

题目 如图1,在正方形ABCD中,AB=4,E、F是边AD上两动点,AE=DF=a,连接CF交BD于G,连接AG交AE于H,求DH长度的最小值是多少?

乍看这题,点E、F在AD上运动,连接CF交BD可以确定动点G,连接AG交AE可以确定动点H.要求DH的最小值?可以依据解析思想把几何问题转化为代数问题.求出H点的轨迹方程,弄清H点的轨迹,从而确定何时DH最小,并求出最小值.

图2

图3

于是,我们就采取建立直角坐标系,通过建立直线方程来解决.

(2) 当E不与A和D重合时,设:

联立①,②方程:

所以G的坐标为

解题后我们继续思考:求DH的最小值,终归是求最值问题,所以我自然的联想到函数的基本性质——最值.求DH的最小值,不就是要建立变量DH与变量AE(或AF=a)的函数关系式,再通过确定的函数关系式,求出函数最小值.从而我们得到以下两种解答过程.

通过以上三种方法,我们发现第三种方法比前面两种方法更繁琐,这种定量分析的解析法的确繁赘,难以置信.于是,我们就思考,有没有更简便的方法呢?难道这道题变量a的变化对线段DH的变化没有更直观的几何解释吗?我们能否用几何的方法来作定性考查呢?

图4

解法4 如图4,在正方形ABCD中,BD为对角线,

根据对称性可知:∠2=∠3,

在△ABE和△DCF中,AB=CD,∠BAE=∠CDF,AE=DF,∴Rt△ABE≌Rt△DCF,∠1=∠2,∠3=∠1.

而∠BAH+∠3=90°,∠BAH+∠1=90°,则BE⊥AG,由此可知:不论E、F两动点在AD上如何运动,∠AHB=90°的值不变.

图5

根据三角形的三边关系,OH+DH>OD,当O、D、H三点共线时,DH的长度最小.

2 反思收获

下面,我们再深入反思这道题的价值,还是收获颇丰.

反思收获1 如果点E、F两点在AD所在的直线上运动,其它条件不变,那么点H形成的轨迹是什么?既然有最小值,那么点D到H之间的距离有没有最大值呢?最大距离是多少?

剖析 当E、F继续在AD所在的直线上运动,我们借助几何画板演示,发现H点的轨迹还会变成一个以AB为直径的半圆(如图5).

反思收获2 我们从答案来看,这个数值是巧合呢?还是另有缘由?如果将DH的长度与正方形边长AD相比是什么呢?

在直角三角形△OAD中,∠A=90°,且AD=2AO,就可以构造黄金分割点.这不真是我们探究发现又一种作黄金分割的方法吗?虽然方法还雏嫩,但不能不说是一种好想法.

反思收获3 如果把正方形改为正五边形呢,其它条件不变,是否有类似的结论呢?如果我们把正方形改为正六边形呢?其它条件不变,是否有类似的结论呢?……,如果我们把正方形改为正n边形呢?其它条件不变,是否有类似的结论呢?

图6

回答是肯定.对于正五边形来说,如图6,已知正五边形ABCDE,AF是其中一条对称轴,点M、N为边AB上两动点,且AN=BM,连接EN交AF于G点,连接BG交CM于H,则∠BHC为定值.其定值为;点H的轨迹在以BC为劣弧所含的圆周角为72°的圆弧上.

图7

如图7,已知正六边形ABCDEF,点M、N为边AB上两动点,且AN=BM,连接FN交AD于G点,连接BG交CM于H,则∠BHC为定值,其定值为=60°;点H的轨迹在以BC为劣弧所含的圆周角为60°的弧上.

一般地,有类似性质,这里不再赘述.

反思收获4 这题探究到此,我们进一步发现,它可以派生出安徽省2016年数学中考题第10题:

图8

如图8,Rt△ABC中,AB⊥BC,AB=6,BC=4,P是ABC内部的一个动点,且满足∠PAB=∠PBC,则线段CP长的最小值为( )

答案是B.

理由如下:∵∠PAB=∠PBC,AB⊥BC,

∴∠ABP+∠PBC=90°,

∴∠PAB+∠ABP=90°,∴∠APB=90°,

∴点P在以AB为直径的⊙O上.

故当OP=2时,CP最小值为3.

3 自我成长

3.1 解题笨拙与智慧

对于以上四种解题方法分析可见,开始时,我们在学习《平面几何选讲》时,学生冷不丁地提出问题,我们根据学生当前的知识存储,联想到用解析法建立方程求交点,解决动点距离问题.其实,这是在选择解题方法上的盲从,没有进行深入考虑,没有进行“解题智慧”的挖掘,而是被题目中提供的表面现象所迷惑,误以为建立函数关系来求最小值,比较简单,其实增加了“解题长度”,运用了多余的知识,所以,走到“解题笨拙”的一面.为了避免少走弯路,减少解题中长度,绕开解题笨拙,还是要在审题时多思考,化繁为简,才会应运而生地出现“绝处逢生”的美巧想法,解题后的几点反思,真是点滴心血筑成的.

3.2 专业成长

教师在专业成长的过程中,为什么要不断地提高自我专业水平呢?只有通过研修,才能不断提升自我.通过解析法、参数法和函数法求解,会发现直线AG、BE位置关系,确定动点H的所在方程,判定动点H是以AB为直径的半圆轨迹,而要求DH的最短距离,就是求点到圆上最短距离.进而为解法4提供强有力的支撑,解法4是纯平面几何的证法,通过反思联想,把这道题与一道中考题成功对接,缩短了知识间的距离.这道题解答探究过程就是一个成功的案例.

这种方法探究成功,进一步说明,教师的专业成长要不断地研修,只有站得高,才能看得远.用高层次的知识居高临下指导教学,在指导教学实践过程中,不断储蓄知识,积蓄能量,拓展解题思路.

当我们重新审视这道题的探究历程时,却有“众里寻它千百度,蓦然回首,那人却在灯火阑珊去”的感觉!其实,这道题的本质就是求点到圆上最短距离问题,真是繁与简是一念间的事.

1 罗增儒. 数学解题学引论[M].西安:陕西师范大学出版社,2001

2017-01-18)

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