系统设计学会思考——『运算定律』教材重组教学的探索实践

倪斌强

【研究缘起与思考】

在一次运算定律的专题研究活动中，笔者发现不同版本教材运算定律的编排主要分为两类：A类教材（如下图），把五大定律和两大性质（减法的性质和除法的性质），分成了两块：一块是加法的运算定律及应用，其中还包括了减法的性质；另一块是乘法的运算定律及应用，其中也渗透了除法的性质。也就是把加法交换律与乘法交换律、加法结合律与乘法结合律分散编排。B类教材，把加法交换律和乘法交换律合在一起统称为交换律，并且也把加法结合律和乘法结合律合为一节课，统称为结合律。也就是把加法交换律与乘法交换律、加法结合律与乘法结合律集中编排。

通过比较发现：A类教材看似脉络清晰、结构完整，但如果细想，就会发现加法交换律和乘法交换律如同孪生兄弟，联系的更紧密，如果统称为“交换律”更有利于学生系统的构建完整的知识结构；加法结合律和乘法结合律也是如此，合为一体统称为“结合律”也更合理；还有减法的性质和除法的性质也有类似之处，也可合二为一进行教学。

正因如此，激起笔者对“运算定律”这一内容教材重组的研究兴趣和探索思考：

一是对于运算定律这部分内容，教材怎样调整重组更有利于学生建构知识？更有利于培养学生探索和发现规律的能力？

二是五大定律和两大性质都是属于数与代数重要的定律、性质，这些内容的学习方式是不是都可以利用相同的模式（猜想——验证——结论——联想——验证——新的结论）？

【教学过程】

引导学生怎么“走”——了解探索规律的方法

案例《交换律》

一、引出猜想，初感规律

1.观察下图，列式计算。

2.观察列出的等式，你有什么发现？

12+16=287+21=284+24=28

16+12=2821+7=2824+4=28

12+16=16+12 7+21=21+7 4+24=24+4

引出猜想：在加法中，交换两个加数的位置，和不变。

二、验证猜想，获得新知

1.讨论：怎样验证？

（举几个加法算式，交换加数的位置，看看和是否不变）

2.学生独自举例验证，教师巡视了解学情。

3.集体交流。

教师有选择地出示学生可能出现的几种情况：（1）举例验证方法的比较。（2）举例的全面性比较。

4.揭示课题。

师：有没有发现交换两个加数的位置和变了的例子？如果没有，那猜想应该是成立的，你能给这个结论取个名吗？

5.能用自己喜欢的方式表示加法交换律吗？

三、联想迁移，得出结论

1.引导联想。

师：从个例中形成猜想并举例验证，是获取结论的一种方法，但有时还可以从已有的结论通过联想进而形成新的结论。从加法交换律中，我们通过联想可以获得什么新的猜想呢？

生：在加法中，交换几个加数的位置，和不变。

生：在减法中，交换被减数和减数的位置，差不变。

生：在乘法中，交换两个因数的位置，积不变。

生：在除法中，交换被除数和除数的位置，商不变。

2.分组验证。（略）

3.反馈交流。

师：在减法中是否成立？

生：不成立，如 5-3=2，交换位置后3减5不能计算。

生：有成立的，如 6-6=0，交换被减数和减数的位置，还是成立的。

师：在验证猜想时，如果有一个例子不成立，这样的例子叫反例，反例举出一个就可以证明猜想不成立。

（乘法、除法略）

4.得到新的结论。

5.小结：加法交换律和乘法交换律可以统称为交换律。

四、巩固练习，拓展延伸（略）

【分析：本课学生通过讨论“怎样验证？”了解科学验证的方法。当学生得出一个结论时，教师又进行了“从个例中形成猜想并举例验证，是一种获取结论的方法，但有时还可以从已有的结论通过联想进而形成新的结论。从加法交换律中，我们通过联想可以获得什么新的猜想呢？”的引导，使学生联想到减法、乘法、除法算式中的各种情况。让学生明白科学地获取结论的两种方法：①个例——猜想——结论；②结论——联想——新的结论。本节课凸显“猜想——验证——结论——联想——验证——新的结论”的探究规律思考路线，使学生初步了解了探索规律的方法。】

扶着学生“走”一程——理解运用方法探索规律

案例《结合律》

一、引出猜想，初感规律

1.计算下面各式的得数。

（67+48）+52=67+（48+52）=

（4+9）+41=4+（9+41）=

（155+145）+207=155+（145+207）=

2.观察上面这些算式，你有什么发现？

引出猜想：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。

二、验证猜想，获得新知

1.讨论：怎样验证？

（举几个连加算式，改变运算顺序，看看和是否不变）

2.学生独自举例验证，教师巡视了解学情。

3.集体交流：我们在验证猜想时要注意什么？

4.有没有反例？如果没有，那猜想应该是成立的，你能给这个结论取个名吗？

（揭示课题：加法结合律）

三、联想迁移，得出结论

1.从加法结合律中，我们通过联想可以获得什么新的猜想呢？

生：在连减中，先把前两个数相减，或者先把后两个数相减，差不变。

生：在连乘中，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。

生：在连除中，先把前两个数相除，或者先把后两个数相除，商不变。

2.分组验证。

3.集体交流：是否都成立？有没有反例？

4.得到新的结论。

5.小结：加法结合律和乘法结合律可以统称结合律。

四、练习（略）

【分析：本节课紧紧围绕两个方面进行：一方面是再次明确举例验证应该遵循怎样的规则；另一方面进一步理解探索规律的方法。获得结论有两条途径：一是从一组算式中发现带有规律性的东西，再举例验证猜想；另一条是从已获得的结论中，引发新的猜想。“从加法结合律中，我们通过联想可以获得什么新的猜想呢？”学生在联想过程中进一步熟悉由“此知”及“彼知”的数学联想。】

看着学生“走”一段——尝试运用方法探索规律

案例《减法的性质和除法的性质》

一、引出猜想，初感规律

1.回顾：我们前面学了交换律和结合律，同学们回忆一下，我们是怎么学的？学的方法有什么类似之处？

生：都是从一组算式中发现规律。

生：都是用具体的例子验证猜想。

生：还有从一个结论通过联想来引出新的猜想。

师：这节课我们还是用这样的方法去研究。

2.先计算下面各式的得数，再看看发现了什么？

367-89-11=367-（89+11）=

524-164-36=524-（164+36）=

1235-235-65=1235-（235+65）=

3.引出猜想。

一个数连续减去两个数，可以把这两个减数加起来再减。

二、验证猜想，获得新知

1.有了猜想，接下去怎么研究？

生：先举一些例子验证一下是否成立。

师：好的，我们四人一组进行研究。

2.学生独自举例，小组交流举的例子。

3.集体交流。

（1）所举的例子都符合猜想吗？

（2）有没有反例？

（3）验证猜想的时候要注意什么？

4.能给这个猜想取个名称吗？（减法的性质）

如果用字母表示减法的性质怎么表示？

三、联想迁移，得出结论

师：接下去我们怎么研究？

生：从“减法的性质”通过联想引发新的猜想，再用具体的算式验证，看看有没符合其它的性质。

师：那从“减法的性质”通过联想又有哪些新的猜想呢？

生：一个数连续加两个数，可以先把后两个加数相减再加。

生：一个数连续乘两个数，可以先把后两个乘数相除再乘。

生：一个数连续除以两个数，可以把两个除数乘起来再除以第一个数。

1.验证猜想。

2.得出除法的性质：a÷b÷c=a÷（b×c）。

四、练习（略）

【分析：学生在前两节课的学习中已比较熟悉探究规律的方法和验证猜想的方法，本节课教师让学生尝试运用方法探索规律——通过一系列的问题“扶”着学生进行探究新知。“我们前面学了交换律和结合律，同学们回忆一下，我们是怎么学的？学的方法有什么类似之处？有了猜想，接下去怎么研究？得到结论后我们又怎么进行下一步的研究？”学生在教师的引导帮助下，顺利地完成了新知的探究。学生在本节课中继续巩固了举例验证的方法，运用了由“此知”及“彼知”的数学联想，进一步熟悉了获得结论的两种方式。】

“奔跑吧”，孩子——自主运用方法探索规律

课例一 《乘法分配律》

一、回顾方法

师：我们前面学了交换律、结合律以及减法性质、除法性质，同学们回忆一下，我们是怎么学习的？学习的方法有什么类似之处？

生：都是从一组算式中发现规律，再举具体的算式验证。

生：获得结论后，再通过联想发现新的猜想，再举例验证。

师：我们这节课继续用这样的方法进行研究。老师给大家提供一些素材，四人一组进行合作研究。

二、自主探究

1.出示。

（4+7）×25=4×25+7×25=

（5+12）×24=5×24+12×24=

（120+18）×6=120×6+18×6=

计算后引出猜想：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。

2.四人一组合作研究。

3.教师巡视指导。

4.集体交流。

5.给这个规律取个名称，引出：乘法分配律。

三、练习（略）

课例二《带符号搬家》

一、回顾方法

师：我们前面几节课都是探索规律的内容，同学们回忆一下，像这一类课我们是怎么学的？

师：我们这节课继续用这样的方法进行研究。

二、自主探究

1.出示：

125+47-25=25-25+47=

234-48+66=34+66-48=

357-149-57=357-57-149=

2.四人一组合作研究。

3.教师巡视指导。

4.集体交流。

5.给这个规律取个名称。引出：带符号搬家。

三、练习（略）

【分析：这两节课教师就显得比较轻闲，先回顾一下研究的方法，然后只出示一组研究的素材，完全放手让学生自主探究《乘法分配律》和《带符号搬家》两个课例，学生因为有了前几节课的学习和铺垫，对于如何探究规律已很熟悉，很自然地运用探究的方法（猜想——验证——结论——联想——验证——新的结论），不仅发现了规律，而且也进一步巩固举例验证的方法，再次运用了由“此知”及“彼知”的数学联想，学会了数学的思考方法。】