度拓展跨越断层——关于“图形的旋转”整体教学的认识与思考

任　宁　杨红娟

从几何教学改革来看，图形变换是新增内容，它改变了人们用静止的观点研究几何的传统方法，开启了用运动的观点研究几何问题的视角。图形变换可以分为刚性变换和相似变换，小学教材中的对称、平移和旋转就是刚性变换，图形的放大和缩小则是相似变换。图形的旋转是图形的三种刚性变换方式之一，包含旋转中心、旋转方向、旋转角度三要素。本文将从整体教学的思路入手，谈谈在小学如何对旋转中心的教学进行适度拓展，以期跨越教材编排的断层，更好地衔接前后的学习通道。

教材有什么

在人教版小学数学修订教材中，涉及旋转知识的内容主要如下：

所在册数及单元　相关内容二下《图形的运动（一）》　直观感受生活中旋转的现象。四上《角的度量》　利用动态方式对角进行定义。五下《图形的运动（三）》　认识旋转三要素，能够在方格纸上对简单图形旋转90°。五下《图形的运动（三）》　能够借助操作发现“旋转对称图形”的特点。六下《圆柱和圆锥》知道沿着长方形的一条边或直角三角形的一条直角边旋转，能形成圆柱或圆锥。

在人教版教材编排中，二下的内容体现了课标对第一学段的要求：初步感受旋转的现象，认识生活中的旋转。五下的内容则是课标对第二学段的要求：进一步认识旋转，能在方格纸上将简单图形旋转90°。而四上《角的度量》单元中，对平角和周角的动态定义，则是对五下学习旋转知识的铺垫。五下的这个“有关旋转对称图形”练习的编排，则是对旋转中心位置的拓展，从例题的“以图形顶点为旋转中心”转变为“以图形的中心点为旋转中心”。最后六下的《圆柱和圆锥》单元的相关内容，则是突破了平面几何的范畴，引领学生沟通平面图形和立体图形之间的关系，把旋转中心从点拓展到了线。

翻阅其他版本教材的例题编排，考虑到学生的接受程度和理解能力，一般只要求学生理解旋转中心在图形顶点上的旋转方式。但是考虑到在生活中、数学中的旋转变式很多，因此各版本的教材都以不同的方式对旋转中心的位置进行了拓展，具体如下：北师大版六下第三单元《图形的运动》第29页，旋转中心在线段上任意一点。北师大版六下第三单元《图形的运动》第38页，旋转中心在图形内部任意一点。浙教版四上第13小节《图形的旋转》第46页，旋转中心在图形中心点或图形外部。浙教版四上第13小节《图形的旋转》第47页，旋转中心在图形中心点和顶点。

由此可以看出，北师大版和浙教版教材对于旋转中心的拓展力度更大，出现了以线段上任意一点、六边形内任意一点、图形中心点、图形外一点为旋转中心的多种情况，除了北师大版要求学生画出以线段上任意一点为旋转中心的旋转后的图形，其余各种情况都是以让学生欣赏和实物操作、语言描述为主。教材通过动手操作、观察欣赏等方式，一方面开阔了学生的视野，使学生能够对生活中的旋转现象有更加全面的认识；另一方面也为了后续相关知识的学习打下一定的基础；最后让学生在观赏过程中感受数学的内在美，从而激发学习数学的真正兴趣。

学习缺什么

笔者以旋转中心的位置为关注点，对人教版教材相关例题、习题进行归类统计分析，发现旋转中心的位置主要有以下几类：

旋转方式　中心点的位置旋转中心在图形上在对称轴交点处（图形中心）图形内部任意位置旋转中心在图形外部绕线旋转 旋转中心是平面图形的一条边（其他情况暂不涉及）绕点旋转旋转中心在图形内部在图形顶点其他任意位置

对五年级的学生来说，对以上几种情况有不同的要求：

1.“绕点旋转中的旋转中心在图形边的转折点”是必须掌握的，《数学课程标准》中明确要求：以点为中心，在方格图内把一个简单图形旋转90°。

2.“绕点旋转中的旋转中心在对称轴的交点处”属于理解的范畴，《数学课程标准》要求：学生不必知道“旋转对称图形”的概念，但是要求学生通过实验发现“旋转对称图形”的特点，并用自己的语言描述这些图形绕中心点旋转多少角度后，还能与原来图形重合。

3.“其他绕点旋转”只需了解和欣赏，看到图形知道这是由某个图形旋转得到即可。

4.“绕线旋转”是后续知识学习的需要，提前简单渗透，避免出现前后学习通道的断裂。

我们发现在五年级下册学习旋转的时候，要求学生理解旋转三要素并能够在方格纸上将一个简单图形绕着顶点旋转90°。包括此前四年级上册出现的角的动态定义，都是以图形的边界上的一个点（即顶点）为中心进行旋转的。因而，当学生在五下接触到“旋转对称图形”绕着图形的中心点旋转时，很多学生就不知所措。进而，在六下接触到“长方形绕着它的长旋转一周形成圆柱”之类的描述时，更是无法在头脑中建立起相关的表象。虽然只是要求理解或者了解的内容，但是从中可以看出从“绕着顶点旋转”到“绕着中心点旋转”再到“绕着直线旋转”，学生的经验出现了明显的断层，影响了学习过程的顺利展开。因此就需要教师精心设计，在原有教材基础上适度拓展，对经验的断层进行修补。

教学补什么

综合各版本的教材内容编排，吸取各方的教学经验，结合教材前后的内在联系，我们认为在常规的例题教学之外，还可以从以下几个方面对旋转中心的教学进行拓展。

一、从“线”出发，拓展旋转中心种类

小学阶段的“图形的旋转”是以平面图形的旋转为主，平面图形的旋转又是建立在线段的旋转基础之上。那么，在线段的旋转中，我们就可以让学生感受旋转中心不同带来的旋转结果的变化。

以线段AB为例，可以选择点A、B、O为旋转中心，分别画出顺时针旋转90°后的图形。让学生先想象旋转后的线段位置，用手势比划，然后指名学生上台借助小棒进行操作，最后用课件演示确认。进而，教师可以让学生思考，如果线段AB绕着点C（线段延长线上一点）顺时针旋转90°，会是什么结果？也可以让学生借助小棒操作，然后进行课件演示。

通过以上环节的学习，让学生明白不同的旋转中心得到的结果是不一样的，同时知道旋转中心可以在线段上（包括线段的端点和线段的中间），也可以在线段外（基于学生的水平，这里只出现旋转中心在线段的延长线上，暂时不出现旋转中心在线段外任意一点），从而拓展学生的观察视角。当然，对于图1、图2的旋转类型是要求学生掌握的，对于图3、图4这两种类型只作了解即可。

二、以“面”沟通，联结不同旋转方法

基于学生的实际认知水平和教材的要求，我们要突出两种旋转中心的典型位置：第一种，教材例题要求的旋转中心在图形的转折点上；第二种，旋转中心在图形内的对称轴交点处。前者是例题的类型：以点为中心，在方格图内把一个简单图形旋转90°。对这种旋转中心的类型，《数学课程标准》要求的程度是“掌握”：不仅要求学生会用课本要求的语句清楚阐述图形旋转的过程，还要根据要求画出旋转后的图形。对于后者，《数学课程标准》的要求是“理解”：学生不必了解“旋转对称图形”的概念，但是要求学生通过实验发现“旋转对称图形”的特点，并用自己的语言描述这些图形绕中心点旋转一定角度后，还与原来图形重合。

在方格图内把一个简单图形绕旋转中心（图形顶点）旋转90°，其基本方法是先将与旋转中心相连的线段进行旋转，然后将其余线段连接即可。所以，平面图形的旋转本质上是线段的旋转。在教学围绕图形的中心点进行旋转时，我们发现，借助实物图形，学生能够理解如何绕着中心点进行旋转，可是由于图形的边线没有与旋转中心相连，因而无法判断出旋转的角度，也很难画出旋转一定角度后的图形。这时教师就要激活学生的已有经验，既然图形的边线没有与旋转中心相连，我们就以与旋转中心相连的对称轴为参照物，观察当旋转后的图形与原来的图形重合时，相应的对称轴旋转的角度，就是图形旋转的角度。进而明白旋转这个角度的倍数角也可以和原图形完全重合。

通过对比让学生明白，不管旋转中心在图形的顶点还是在图形的内部，图形的旋转最终是转化为线的旋转进行思考。

三、为“体”铺垫，修复前后经验断层

在六下的《圆柱和圆锥》单元中，教材出现了以长方形的一条边为轴旋转形成圆柱和以直角三角形的一条直角边为轴旋转形成圆锥的内容，以此来凸显平面图形与立体图形之间的联系。在学习这个知识点的时候，不少学生无法在头脑中建立正确的表象，想象不出长方形绕一条边旋转会形成怎样的图形。从前面的测试情况来看，学生凭生活经验认同这是旋转，可是却无法找到旋转中心。显然是由于绕“点”旋转和绕“线”旋转之间出现了经验断层，没有进行有序地衔接，导致学生无法建立有效的认知。为了修复这个经验的断层，笔者认为可以从以下两个角度进行尝试。

1.借助实物图形，直观感知。

借助生活中的旋转门图片，首先让学生思考左图中的门框是怎样旋转的，在明确门框是绕着中间门轴上的点旋转后，教师直接采用利用课件动画出示多条线段，明确这些线段都是以左边端点为旋转中心；再用多条长度相同、以点为旋转中心的线段进行叠加形成一个长方形，那么旋转中心“点”叠加形成了“线”；最后，线段组成的长方形围绕旋转中心——“线”旋转形成一个圆柱。

2.通过实物操作，亲身体验。

对于六下教材中的这两个操作活动，可以在五下学习旋转的时候让学生先行尝试。教师可以先提供给学生一个长方形，按照书上的方式进行旋转，思考旋转后形成的是什么形状的图形？而后继续让学生思考，还可以怎么旋转形成圆柱。从而让学生明确可以绕着长或宽进行旋转，也可以绕着两条对称轴进行旋转，形成圆柱。同理，在让学生明确绕着直角三角形的两条直角边旋转可以形成圆锥之后，也应该让学生通过探究发现绕着等腰三角形的对称轴旋转也可以形成圆锥。从而丰富学生对不同的旋转方式的认知，为后续学习奠定扎实的基础。

图形的旋转，在各种公开场合的研讨课、展示课上，课的结尾总有教师播放各种精美的图片让学生欣赏，以示拓展之意。但也只是停留在浅层次的欣赏，留给学生一时的惊叹、赞美，而缺乏了数学的意味。我们其实可以在教学中以“旋转中心”作为拓展点，出现各种不同位置旋转中心的图形，丰富学生的表象，让学生在欣赏、操作的过程中深化对旋转的认知。进而，我们还可以适度沟通前后知识之间的联系，从绕点旋转拓展到绕线旋转，进一步培养学生的空间想象能力，为立体图形和平面图形的沟通奠定基础。依上述方式操作，既能够使原来旋转板块呈点状的内容连成一个整体，也可以使我们的教学形成一个整体的思路，同时让学生的学习进程更为系统流畅。