数形结合在高中数学中的妙用

☉江苏省如东县掘港高级中学 葛益平

数形结合在高中数学中的妙用

☉江苏省如东县掘港高级中学 葛益平

我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”“数”与“形”反映了事物两个方面的属性.数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系.数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的，笔者结合平时的教学实践，谈谈数形结合在数学中的运用.

一、研究图中某些不等式关系

例1 已知定义在区间［0，1］上的函数y=f（x）的图像如图1所示，对于满足0＜x1＜x2＜1的任意x1，x2，给出下列结论：

图1

其中正确结论的序号是________.（把所有正确结论的序号都填上）

解析：“数形结合”从整体角度利用函数图像“线”的角度分析函数性质不易获得结论，我们利用“以点为主”从部分角度利用函数图像“点”的角度分析研究图像上一些关键的点.

由图可知（0，0），（1，1）这两点的斜率等于1，由f（x2） -（fx1）＞x2-x1，可得即图中任意两点（x，

1f（x1））与（x2，f（x2））连线的斜率大于1，显然①不正确；由x2（fx1）＞x1（fx2）得即表示两点（x，（fx）），

11（x2，f（x2））与原点连线的斜率的大小，可以看出结论②正确；任意找两点（x1，（fx1）），（x2，（fx2）），则表示两点纵坐标和的一半表示该两点中点的纵坐标，结合函数图像，如图2，容易判断结论③是正确的.

二、研究在函数与方程中的运用

数形结合方法作为一种重要的数学思想和教学原则贯穿于整个高中数学学习的始终，通过数形结合可将抽象的数学语言与直观图形相结合，缩短了思维链、简化了思维过程、完善学生的解题思路、简化思维过程、寻找最佳解题方法有着重要作用，数形结合在函数与方程里有若干运用.

1.方程解的个数问题

例2 设方程|x2-1|=k+1，试讨论k取不同范围的值时其不同解的个数的情况.

分析：我们可以把这个问题转化为确定函数y1=|x2-1|与y2=k+1图像交点个数的情况，因函数y2= k+1表示平行于x轴的所有直线，如图3，从图像可以直观看出.

图3

解：①当k＜-1时，y1与y2没有交点，这时原方程无解；

②当k=-1时，y1与y2有两个交点，原方程有两个不同的解；

③当-1＜k＜0时，y1与y2有四个不同交点，原方程不同解的个数有四个；

④当k=0时，y1与y2有三个交点，原方程不同解的个数有三个；

⑤当k＞0时，y1与y2有两个交点，原方程不同解的个数有两个.

点评：将方程的解的问题转化为两个函数的交点问题.

2.取值范围问题

解析：因为当x∈（-1，1］时，将函数化为方程x2+m

y22= 1（y≥0），实质上为一个半椭圆，其图像如图4所示，同时在坐标系中作出当x∈（-1，3］的图像，再根据周期性作出函数其他部分的图像，由图易知直线与第二个椭圆相交，而与第三个半椭圆（x-4）2+无公共点时，方程恰有5个实数解，将代入

令t=9m2（t＞0），则（t+1）x2-8tx+15t=0.

由Δ=（8t）2-4×15t（t+1）＞0，得t＞15，即9m2＞15.

图4

点评：本题比较综合，将方程问题转化为函数问题，利用数形结合思想，借助于函数图像找到曲线交点的个数，从而判定方程的解的个数，进而求出参数的取值范围.通过解此题可以培养学生的创新意识，提高知识的综合运用能力，激发学生的潜能.

3.解方程组的问题

解析：注意到三个方程的结构类似余弦定理（分别视“1”，“3”，“4”为“12”，“2bccosA，只要分别令其中的两边夹角为120°即可，原方程组可变形为

图5

构造图形，如图5，注意到S△ABC=S△AOB+S△BOC+ S△COA，且AB2+AC2=BC2，所以△ABC是直角三角形，故即xy+yz+xz=2.

把各方程相加，得2（x2+y2+z2）+（xy+yz+zx）=8.把xy+ yz+xz=2代入，解得x2+y2+z2=3.

又（x+y+z）2=（x2+y2+z2）+2（xy+yz+xz），所以（x+y+z）2= 3+2×2=7.

点评：此题解法关键是求出x+y+z，若用纯代数解法是极困难的，但构造三角形运用余弦定理便迎刃而解，充分体现了以平面图形助数的实效性.

三、研究超越方程或高次方程

1.研究分段函数问题

利用“数形结合”从整体角度利用函数图像“线”的角度绘出分段函数，再根据图像解决相应的问题.

图6

再根据“以点为主”从部分角度利用函数图像“点”的角度分析研究图像上一些关键的点，如（a，f（a）），（b，f（b）），（c，f（c））.

若a，b，c互不相等，不妨设a＜b＜c，因为f（a）=f（b）= f（c），由图像（图7）可知，0＜a＜1，1＜b＜10，10＜c＜12.

图7

因为f（a）=f（b），所以|f（a）|=|f（b）|，所以lga=-lgb，即所以ab=1，所以10＜abc＜12.

2.研究超越函数、超越方程问题

例6 已知函数f（x）=|x2-4x+3|.

（1）求函数f（x）的单调区间，并指出其增减性；

（2）若关于x的方程f（x）-a=x至少有三个不相等的实数根，求实数a的取值范围.

（1）递增区间为［1，2］，［3，+∞）；递减区间为（-∞，1］，［2，3］.

（2）原方程变形为|x2-4x+3|=x+a，于是，设y=x+a，在同一坐标系下再作出y=x+a的图像，如图8.

图8

当直线y=x+a过点（1，0）时，a=-1；

当直线y=x+a与抛物线y=-x2+4x-3相切时，由

点评：（1）“数形结合”从整体角度利用函数图像“线”的角度分析函数图像翻折变换，“以点为主”从部分角度利用函数图像“点”的角度分析研究图像上一些关键的点，函数f（x）=|x2-4x+3|的图像是利用f（x）=x2-4x+3的图像翻折得到的，翻折的关键先找到f（x）=x2-4x+3的图像与x轴的交点及顶点进行分析；（2）超越方程f（x）-a= x转化成部分的两个函数：f（x）=|x2-4x+3|与y=x+a.在函数f（x）=|x2-4x+3|的图像的基础上，分析直线y=x+a与f（x）= |x2-4x+3|的图像几个关键点（f（x）=x2-4x+3的图像与x轴的交点、顶点，以及直线y=x+a与抛物线y=-x2+4x-3相切的切点）进行分析.

四、研究导数应用中的综合问题

导数在应用中常见对函数零点个数、方程根的个数的研究，一般这类问题均可利用数形结合进行分析，可以快速、简便地解决问题.

例7 已知函数f（x）=x2+bsinx-2（b∈R），F（x）=f（x）+ 2，且对于任意实数x，恒有F（x）-F（-x）=0.

（1）已知函数g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx在区间（0，1）上单调递减，求实数a的取值范围；

解析：（1）a≤-4.（具体过程略）

当x＜-1时，h′（x）＞0；当-1＜x＜0时，h′（x）＜0；当0＜x＜1时，h′（x）＞0；当x＞1时，h′（x）＜0.

如图9，所以h（x）极大值=h（±1）

图9

图10

h（x）极小值=h（0）=1-k.由图10可知：①当时，函数没有零点；

④当k=1时，函数有三个零点.

当x＜-1时，y′＞0；当-1＜x＜0时，y′＜0；当1＜x＜0时，y′＞0；当x＞1时，y′＜0.

④当k=1时，函数有三个零点.

点评：通过以上可知函数的图像法：大体上可以根据“数形结合，以点为主”两个分析层面：“数形结合”从整体角度利用函数图像“线”的角度分析函数性质及其他结论；“以点为主”从部分角度利用函数图像“点”的角度分析研究图像上一些关键的点，达到分析的目的，如本题第（2）问，表面上十分复杂，实际上只要解决“函数有几个零点”即可.

通过以上例题可看出，数形结合思想方法能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，其实质就是“数中思形，以形助数”.它使很多代数问题迎刃而解，且解法简捷.同学们平时应加强这方面的训练，在做题中要注意培养这种思想意识，要做到“胸中有图，见数思图”，以开拓自己的思维视野，从而提高自己的解题能力.