变式探究圆锥曲线中一类定点问题

☉山东省济南市长清第一中学 马 晶

变式探究圆锥曲线中一类定点问题

☉山东省济南市长清第一中学 马 晶

圆锥曲线是高中数学重要内容之一，且在高考中常以压轴题的形式出现，能有效考查考生分析问题、解决问题的能力.定点问题是圆锥曲线的重要考查题型，设问形式通常是证明或探索直线或曲线是否过某一定点.圆锥曲线中的定点、定值问题，便是考查学生综合数学素质的一个重要途径.此类问题主要涉及直线、圆与圆锥曲线等方面的知识，渗透了函数、化归、数形结合的思想，是高考的热点题型之一.本文以一道有关定点问题的命题为引例，进行变式探究，以供同学们参考.

设A（x1，y1），B（x2，y2），M

点评：此命题是证明圆过定点，因此可利用圆的几何性质，即直径所对的圆周角为直角以及坐标法、代入消元法、根与系数的关系，向量转化思想等直接证明，难度中等.下面以此为基础进行变式拓展.

一、变证为求

在新课标教育理念下，动曲线或动直线是否过定点的问题考查了学生的探究能力和探索精神.对于此类问题的常规做法是将动曲线的方程写出，再想法消参，使得曲线方程中只含有一个参变量，从而找出定点.

（Ⅰ）求椭圆G的方程.

（Ⅱ）设椭圆G的短轴端点分别为A，B，点P是椭圆G上异于点A，B的一动点，直线PA，PB分别与直线x=4交于M，N两点，以线段MN为直径作圆C.

①当点P在y轴左侧时，求圆C半径的最小值.

②问：是否存在一个圆心在x轴上的定圆与圆C相切？若存在，指出该定圆的圆心和半径，并证明你的结论；若不存在，说明理由.

（Ⅱ）设P（x0，y0），A（0，1），B（0，-1），所以直线PA的方程为

当x0=-2时，圆C半径的最小值为3.

当P在左端点时，圆C的方程为（x-4）2+y2=9，

当P在右端点时，设P（2，0），A（0，1），B（0，-1），

令x=4，得yM=-1.同理得yN=1.

圆C的方程为（x-4）2+y0=1，

易知与定圆（x-2）2+y2=1相切，半径R=1.

当-2≤x0＜0时，d=r-R此时定圆与圆C内切；

当0＜x0≤2时，d=此时定圆与圆C外切.

所以存在一个圆心在x轴上的定圆与圆C相切，该定圆的圆心为（2，0）和半径R=1.

（注：存在另一个圆心在x轴上的定圆与圆C相切，该定圆的圆心为（6，0）和半径R=1.结果同样正确）

点评：本题求解中从特殊情况入手，即先令点P为椭圆上特殊的点（左端点、右端点），探索出定圆，在此基础上对题目进行一般性的探究，体现了从特殊到一般的思维策略.

二、改变命题

变式训练能有效考查考生对所学知识的掌握及灵活运用程度.在解答完一道题后，可尝试对题目的条件或结论进行变式，从多角度对问题进行探究.

（Ⅰ）求椭圆C的方程.

设P（m，n），又F1（-c，0），F2（c，0），

（Ⅱ）设lAB：y=代入椭圆消去y，整理得（2k2+，Δ＞0成立.

记A（x1，y1），B（x2，y2），

点评：解答直线与圆锥曲线位置关系中的探索存性在问题，主要有两个方向：（1）根据圆锥曲线的方程及性质，通过联立直线与椭圆的方程得到二次方程，然后通过解方程或利用判别式可作出判断；（2）通过假设存在，然后由此出发进行推证，最后观察其推导结果是否合理.同时本例中要注意向量思想方法的应用.

三、改变曲线类型

圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线，它们具有统一的第二定义.对于椭圆具有的某些性质，双曲线与抛物线可能同时具有.因此可尝试改变曲线的类型进行探究.

例3 在平面直角坐标系中xOy中，动点E到定点（1，0）的距离与它到直线x=-1的距离相等.

（Ⅰ）求动点E的轨迹C的方程；

（Ⅱ）设动直线l：y=kx+b与曲线C相切于点P，与直线x=-1相交于点Q，证明：以PQ为直径的圆恒过x轴上某定点.

解析：（Ⅰ）设动点E的坐标为（x，y）.

由抛物线定义知，动点E的轨迹为以（1，0）为焦点，x=-1为准线的抛物线.

所以动点E的轨迹C的方程为y2=4x.

（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+b（显然k≠0）.

设切点坐标P（x0，y0），则解得

所以以PQ为直径的圆恒过x轴上定点M（1，0）.

点评：探索直线或曲线是否过某一定点问题的解决方法通常有两种：其一是特殊法，即从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关，其二是探索直线过或曲线过定点，先将要证明过定点的直线方程表示为某参数的直线系方程的形式，再由直线系或曲线系方程进行消去参数求出定点.

总之，在处理有关“定点、定值、定直线”问题时，我们要注意动与静的转化，一般情况都是转化为恒成立问题，重点是要确定好与哪一变量无关，同时也要对动与静的关系的观察，加深对动与静本质的理解，便于寻求解题策略，从而培养学生思维的深刻性、灵活性和广阔性.