圆锥曲线上四点共圆充要条件的统一证明与应用

2017-01-12湖北省阳新县高级中学邹生书

中学数学杂志 2016年17期

☉湖北省阳新县高级中学邹生书

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圆锥曲线上四点共圆问题在高考中屡见不鲜，这类试题将圆锥曲线与四点共圆有机地结合在一起，重点考查运算求解能力和推理论证能力，由于问题综合性强、运算量大，大多考生望而生畏，甚至谈“圆”色变，不得不选择放弃.笔者曾在文2中介绍了构建曲线系方程来处理圆锥曲线上四点共圆的有效方法，在文3中给出了圆锥曲线上四点共圆的一个充要条件，并用直线的参数方程分别对椭圆、双曲线和抛物线三种情形一一进行了证明，本文笔者再用曲线系方程给出这个充要条件的统一证明，并用这一充要条件来“秒杀”圆锥曲线上四点共圆的高考难题和数学问题.

先用曲线系方程来解决圆锥曲线上四点共圆的一道高考难题，体验曲线系方程解题的方法和魅力.题目如下：

考题已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且

（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）过点F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一个圆上，求l的方程.

这是2014年高考全国大纲卷文科第22题、理科第21题，第二问就是一道抛物线上四点共圆问题，参考答案给出的解答是一种常规解法，但运算量非常大，下面我们借助曲线系方程来巧解这道难题.

解析：（Ⅰ）求得C的方程为y2=4x.（过程略）

（Ⅱ）依题意，直线l、l′的斜率均存在且互为负倒数.因直线l过焦点F（1，0），故设直线l的方程为x=my+ 1 ①，将其代入抛物线方程得y2-4my-4=0，则yA、yB是这个方程的两个根，由根与系数的关系得yA+yB=4m，设AB的中点为D，则所以x=my+1=2m2+1.DD所以直线l′的方程为即mx+y-4m2-1=0 ②.

由①②知两直线AB、CD的二次方程为（x-my-1）·（mx+y-4m2-1）=0，设过四点A、B、C、D的曲线系方程为（x-my-1）（mx+y-4m2-1）+λ（y2-4x）=0，即mx2+（λ-m）y2+（1-m2）xy-（4λ+4m2+m+1）x+（4m3+m-1）y+4m2+1=0 ③.

若A、B、C、D四点共圆，则③式左边x2、y2项的系数相等，且xy项的系数为零，即有解得或

故所求直线l的方程为x=±y+1，即x+y-1=0或x-y-1= 0.

下面我们先用曲线系方程给出圆锥曲线上四点共圆的一个充要条件的统一证明，再用这个充要条件解决有关试题.

定理若两条直线y=kix+bi（i=1，2）与圆锥曲线ax2+ by2+cx+dy+e=0（a≠b）有四个交点，则四个交点共圆的充要条件是k1+k2=0.

证明：两直线组成的曲线方程为（k1x-y+b1）（k2x-y+ b2）=0，则过四个交点的曲线方程可设为（k1x-y+b1）（k2xy+b2）+λ（ax2+by2+cx+dy+e）=0 ①.

必要性：若四点共圆，则方程①表示圆，那么①式左边展开式中xy项的系数为零，即有k1+k2=0.

充分性：当k1+k2=0时，令①式左边展开式中x2，y2项的系数相等，得k1k2+λa=1+λb，联立解得将其代入①，整理得x2+y2+c′x+d′y+e′=0 ②.

方程②的几何意义是如下三种情形之一：表示一个圆、表示一个点、无轨迹.由题设知四个交点在方程②所表示的曲线上，故方程②表示圆.

评注：（1）方程ax2+by2+cx+dy+e=0（a≠b）是对称轴平行于坐标轴的圆锥曲线（圆除外）的统一形式，统一的证明必须有统一的表现形式.从统一的思想高度来思考问题，必须求大同存小异，考虑共性的东西，而不要去顾及个性特征，否则，会陷入到一些细枝末节中而不能自拨.本证法是数学形式化与数学本质的完美结合，证法简洁、大气，体现了数学的形式美、简洁美与和谐统一之美.（2）k1+k2=0是四点共圆的充要条件，λ是一个与k1、k2相伴随的待定常数，只要存在这样的常数使方程①表示圆即可.

上述定理用文字表述，即斜率均存在的两条直线与圆锥曲线（圆除外）有四个交点，则四个交点共圆的充分条件是两直线的斜率互为相反数.这是一个非常简洁的充要条件，运用这个定理可解决圆锥曲线上四点共圆的高考难题和数学问题.

对于上面这道高考题的第二问，用定理可简解如下：

简解：依题意，两直线l、l′的斜率均存在且互为负倒数，设其斜率分别为因为四个交点共圆，由定理得解得k=±1，故所求直线l的方程为x=±y+1，即x+y-1=0或x-y-1=0.

例1 （武汉市2016届高中毕业生二月调研测试理科数学第12题）设直线y=3x-2与椭圆Γ：交于A、B两点，过点A、B的圆与Γ交于另外两点C、D，则直线CD的斜率k为（）.