同课异构呈精彩，彰显特色求创新——“导数在研究函数中的应用——单调性”教学片断赏析与思考

☉江苏省清浦中学 吴洪生

同课异构呈精彩，彰显特色求创新
——“导数在研究函数中的应用——单调性”教学片断赏析与思考

☉江苏省清浦中学 吴洪生

2015年12月江苏省教研室在盐城中学举行“省青年教师优课观摩与评比”活动，多位教师对同一课内容进行了个性化的研究与展示，参赛教师水平高、领悟能力强、教法灵活、效果很好.本文就高二组“导数在研究函数中的应用——单调性”这一教学内容，选取获得一、二等奖的两节课，对其情境创设、过程探究、结论形成等教学片断作如下赏析.

一、案例背景

本节课是苏教版选修2-2第一章“1.3.1导数在研究函数中的应用——单调性”的内容，安排在高二第一学期教学.是学生学习了导数的平均变化率、瞬时变化率、导数的定义和几何意义、导数的运算之后，学习的“导数在研究函数中的应用”的第一种，也是后两节课学习导数在研究函数中的应用——极值、最值的知识铺垫、能力基础和方法指导.具有承上启下、完善建构、拓展提升的作用.

单调性作为函数的主要性质之一，主要用来刻画图像的变化趋势，是苏教版必修1的内容.学生在必修1已经学习了函数单调性的定义，也能够借助函数的图像特征和单调性的定义来研究函数的单调性.本节课从另一视角，利用导数展开对函数单调性的研究，探究函数单调性与导数之间的内在联系，揭示使用导数研究函数单调性的合理性.通过对函数求导，探究其单调性，进一步扩大了可研究单调性的函数的范围，是对单调性研究的深入和扩展.新课程数学理念中，提出“要提高学生独立获取数学知识，并用数学语言表达的能力”，本节课，就试图渗透这种理念，提高学生的理性思维能力.

二、案例简述

案例一

1.创设情境，初步探究

（1）情境：黑暗中，你是怎样通过远处汽车自身的灯光判断该车是上坡还是下坡的？

图1

【师生活动】

①动画视频引入（图1），直观感知；

②几何画板演示，猜想结论.

抽象出数学问题：

感知可以通过函数图像上每一点处的切线的斜率，即用函数f（x）在该点处的导数来研究函数的单调性.

（2）猜想.

问题1：导数与函数的单调性有什么联系呢？

【师生活动】

从图像上，我们发现，单调递增区间上，每一点处的切线倾斜角均为锐角，斜率大于0，曲线呈上升趋势，函数单调递增；在单调递减区间上，每一点处的切线倾斜角为钝角，斜率小于0，曲线呈下降趋势，函数单调递减.

猜想结论：对于函数y=f（x），如果在某区间上f′（x）＞0，那么f（x）为该区间上的增函数；如果在某区间上f′（x）＜0，那么f（x）为该区间上的减函数.

2.实验验证，总结结论

（1）验证：请举出几个常见的函数，探究导数与函数单调性之间的联系，验证前面猜想的结论.

函数图像单调性导数符号

【师生活动】

①独立验证，合作释疑，展示成果；

②教师从学生中选择具有代表性的函数进行汇报展示.

问题2：你能从函数单调性与导数的定义入手，对上述发现作一说明吗？

【师生活动】

于是，从“数”、“形”两方面，我们都可以感知导数与函数单调性之间的关系.

（2）结论：对于函数y=（fx），如果在某区间上f′（x）＞0，那么（fx）为该区间上的增函数；如果在某区间上f′（x）＜0，那么（fx）为该区间上的减函数.

注意：①如果在某区间上f′（x）=0恒成立，则（fx）为该区间上的常函数.

②“某区间”指的是定义域的子集，研究函数单调性问题“定义域优先”.

案例二

1.设置情境，提出问题

情景：某市气象站对冬季某一天气温变化的数据统计显示，从2时至5时的气温（fx）与时间x可近似地用函数（fx）=x-4lnx-1拟合.问：这段气温（fx）随时间x的变化趋势如何？

问题1：如何研究函数（fx）=x-4lnx-1（x∈［2，5］）的单调性？

2.层层深入，建构新知

问题2：如何用导数探究函数的单调性呢？

（1）探究函数单调性与平均变化率之间的联系.

著名数学家波利亚曾说过：“解决一个数学问题，应该先回到定义.”

问题3：函数的单调性是如何定义的？

【师生活动】通过观察、探究，我们发现单调增函数的定义可以改写成：对于任意的x1，x2∈I，当x1≠x2时，若则函数（fx）在区间I上单调递增.

【师生活动】设函数y=f（x）的定义域为A，区间I⊆A，对于任意的x1，x2∈I，x1≠x2，都有则函数y=（fx）在区间I上是单调递增（减）函数.

（2）探究函数单调性与瞬时变化率（导数）之间的联系.

当自变量的改变量无限趋近于0时，平均变化率即转化为瞬时变化率（导数）.

问题5：能不能利用瞬时变化率（导数）研究函数的单调性？它们之间究竟有何关系？

【师生活动】

①以二次函数f（x）=x2为例，观察函数图像，请大家给出在对称轴左右两侧函数图像的变化趋势.

②（几何画板演示）请大家结合切线斜率来观察二次函数f（x）=x2在对称轴左右两侧的导数值有什么不同的特点？

问题6：你能从“数”的角度解释为什么该函数能从“在（0，+∞）上，f′（x）＞0”得到在该区间为增函数？

【师生活动】前面我们通过图形直观观察得出结论，现在请大家回到导数定义中来，不妨设x1＜x2，时，若f（′x）＞0，得到x＞0，11，所以（fx）＞（fx），得到在（0，+∞）21上为增函数.

问题7：上面是由特殊函数归纳出的结论，对于一般函数是否有这样的结论呢？

3.简要说明，形成结论

问题8：如果图像连续的函数y=f（x）在区间I上f′（x）＞0恒成立，则函数y=f（x）在区间I上单调递增，你能简单说明理由吗？

【师生活动】如图2，让经过两点（x1，f（x1）），（x2，（fx2））的割线平行移动，与函数图像相切，设切点为（x0，（fx0））.因此得到f′（x0）＞0.

图2

问题9：通过上述形数两方面的探究，你能归纳出一般性的结论吗？

【师生活动】对于函数y=f（x），如果在某区间上f′（x）＞0，那么f（x）为该区间上的增函数；如果在某区间上f′（x）＜0，那么f（x）为该区间上的减函数.

三、案例赏析

高中数学新课标规定：高中数学课程必须把数学探究的思想，以不同的形式渗透到各个专题之中.数学探究是指：提出问题，探索解决问题的途径，研究解决问题的方法.为了体现这一教学理念，两个案例都贯彻了“以学生为本”的教学原则，采取了在教师指导下学生自主参与教学活动、自主探索、生生合作、师生交流的教学方式，有效地突破了教学难点，完成了教学目标.

1.关于案例一的赏析

章建跃先生讲，数学课堂的教学实践要努力做到“低起点与高立意”.

案例一在探究的第一阶段，从学生身边的实例入手，引导学生学习生活中的数学，这是低起点；将汽车灯光的指向与上下坡之间的关系进行联系，从感性认识出发，创设探究情境，引导学生发现道路可以抽象成函数的图像，灯光可以抽象为切线，把问题转化为切线斜率的正负与函数增减之间的联系，感知导数正负与函数单调性之间的联系，从而轻松高效地引入课题，成功激发了学生的求知欲，也体现了“生活中处处有数学”的教学理念.这是高立意.

第二阶段，启发学生验证刚才的猜想是否正确，学生很容易想到一些常见的函数并加以验证，进而深化了对所得结论的理解，教师从学生列出的函数中选择具有代表性的函数进行了汇报展示，从“形”的角度，对具体例子进行动态演示，通过观察、猜想、归纳、总结，让学生体验知识的发现、发生过程，也渗透“观察—归纳—猜想—验证”的数学思想方法.

第三阶段，回归定义，揭示本质，顺势总结出导数研究函数单调性的结论，但是这个结论是否普遍适用呢？再从“形”回到“数”，验证结论.进一步引导学生经历从特殊到一般的过程，抓住导数和单调性的定义之间的联系来提炼一般性的结论，由学生自主探究、分组展示，互相点评，变灌注知识为学生主动获取知识，从而使学生成为课堂教学活动的主体.

高二学生经过高一一年的学习，虽然具有一定的抽象思维的能力，但在学习中感性的认识还是占主导地位的.在导数与函数单调性关系的探究与发现过程中，教师始终是课堂的引导者、策划者，学生始终是积极的参与者，突出了教师的主导作用和学生的主体地位.通过启发引导学生猜想、发现、验证、回归定义等过程，既降低了学生的思维难度，又阐述了导数法研究函数单调性的一般性.师生共同分析、共同探究、提炼结论，培养学生观察、猜想、验证、归纳的能力，同时渗透“数形结合”、“特殊到一般”的数学思想方法.总体讲，案例一的设计颇具匠心，生成自然.

2.关于案例二的赏析

本节课采用“开门见山”的教学方式，设置情境，直接提出问题：如何研究拟合函数f（x）=x-4lnx-1（x∈［2，5］）的单调性？可谓“单刀直入，直奔主题”.使学生的思维迅速定向，达到明确目标，突出重点的效果.

通过回顾函数单调性的定义，让学生明白定义是判断函数单调性的最基本的方法，也是探究其他判断方法的基础.通过两个自变量的值x1、x2的变化，启发学生联想增量概念，将x1＜x2，f（x1）＜f（x2）转化为Δx、Δy，进而将函数的单调性与平均变化率联系起来.

当Δx→0时，平均变化率就转化为瞬时变化率.以学生熟悉的最简单的二次函数为例进行探究，一方面，降低了难度，另一方面，学生有较好的感知；教师从“形”的角度，对具体例子进行动态演示，通过观察、归纳、猜想、总结，让学生体验知识的发现、发生过程；又引导学生从导数的几何意义（斜率）的角度，借助几何画板演示猜想单调性与导数的关系，结合导数定义从“数”的角度解释了结论，做到了数形的完美结合.

在探究函数单调性与瞬时变化率（导数）之间的联系的过程中，教师利用特例探索、归纳发现、从特殊到一般的思想方法，使学生经历了“函数单调性与导数”的关系的再创造过程.这样的教学设计在一定程度上体现了知识在学科思维内部的生长过程，几何画板的恰当运用可以让学生在直观及动态过程中感受“函数单调性与导数”的关系，从而能够抓住“函数单调性与导数”的关系的本质.

四、案例思考

《普通高中数学课程标准（实验）》明确指出：高中数学课程应力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识.上述两个案例，无论是课堂教学的引入、探究的过程，还是结论的建构，都是在教师的有效引导下，学生自主发现、自主探究，学生始终是主角，教师的课堂教学充分尊重了学生的主体地位，助力学生的思维发展.欣赏之余，谈几点思考.

1.对“同课异构”的理解

“同课异构”是“同中构异，异中见同”的对比教研模式.“同课”是指选用同一教学内容，相似的教学目标、相仿的教学对象、相近的认知水平、相同的校园文化等.“异构”要构出“异”彩，一样的教学内容，也能呈现不一样的精彩，异构更能彰显执教者的用心、匠心和慧心，也能体现教者独特的教学个性.

2.情境创设与问题设置

“问题是数学的心脏”，没有问题就没有数学.现代认知心理学关于思维的研究成果表明，思维过程首先是解决问题的过程，即思维通常是由问题情境产生的，而且是以解决问题情境为目的的.在课堂教学中，我们要围绕教学内容，设置具有启发性、深刻性的问题，才能有效激发学生的探究意识，引发学生的认知冲突，让学生在“质疑—探究—质疑“中提升自己的思维能力，从而提高数学课堂教学的质量.问题情境的创设要有意义，不能为情境而情境.

3.关于“探究”

“探究”就是在教师的引导、指导、点拨下，让学生亲历知识的发现、检验与论证过程，在经历观察、实验、归纳、猜想、计算、推理、验证等活动过程时，感受数学思想，体验数学活动经验，掌握数学本质，学会数学地思考，进行数学再创造.课堂教学过程中的“探究”要遵循有效性原则，切勿让学生的探究活动被老师牵着鼻子走.

4.何为“好课”

判断一节好课的标志有二：一是看其有没有高水平的思维活动，学生探究活动的思维层次有多高，有没有激发学生的探究热情，学生参与程度的高低等；二是看三维目标的达成是否能让学生按“学会→会学→乐学”螺旋式上升.

5.知识与能力

学生学习数学，一方面是获取知识，但更主要的是发展能力，因此，数学课堂教学应体现两个层面，一是知识方法层面，二是思维能力层面.知识是能力的基础，能力是知识的升华.只有对知识的全面理解和基本数学思想方法的真正掌握才能使数学能力的提高成为可能.