“空间角”问题的若干解决策略

◇ 河北 钱 程

“空间角”问题的若干解决策略

◇ 河北 钱 程

高中立体几何中的空间角问题,是历届高考必考的重点内容.下面通多种方法来分析总结解决此类问题若干策略.

例 如图1,已知在正三棱柱ABC-A′B′C′中,D是BC的中点,AA1＝AB.

图1

(1)求异面直线A1C与B1D所成角的余弦值.

(2)求直线C1B1与平面AB1D所成角的正弦值.

(3)求二面角B-AB1-D的余弦值.

(1)几何法 由已知条件可连接A1B交AB1于点E,如图2所示.由三角形中位线定理可知ED∥A1C.值得注意的是,因为异面直线所成角的范围是设A1C与 B1D所成的角为θ,则图2中的∠B1DE等于θ或π－θ,所以cosθ＝|cos∠B1DE|.如果设底面正三角形的边长为2(注:以下边长均设为2),则容易求得由余弦定理可得

图2

平移、相交构成三角形→用余弦定理加绝对值求得夹角的余弦值.

用模和夹角确定的向量表示异面直线所在的向量→把这2个向量作内积求夹角.

坐标法 本题ABCA′B′C′是正三棱柱,故容易建立空间直角坐标系,如图3所示,可得到点A1、C、B1、 D的坐标,易得出向量和的坐标,再利用向量的夹角公式,得到从而

图3

建立空间直角坐标系→表示出异面直线对应的向量→利用内积求夹角.

(2)几何法 要用几何法求直线C1B1与平面AB1D所成的角,必须找到线面角的位置.由已知条件可证出平面AB1D⊥平面B1BCC1,由面面垂直的性质定理和线面角的定义,过C1作C1F⊥B1D于F,如图4,则∠C1B1F即直线C1B1与面AB1D所成的角,设其为θ,则

图4

用线面垂直或面面垂直等法找到线面角→利用三角函数求得线面角.

坐标法 若要用向量法,须找到垂足F在面AB1D上的具体位置,这只能通过前面的几何法才能找到,所以此题不适合用向量法.而不用找垂线段的具体位置,正是坐标法的优势,本题更适合坐标法,如图3建立空间直角坐标系后,求出面AB1D的一个法向量n和向量之后求出这2个向量的夹角α的余弦值,则sinθ＝|cosα|.

建立空间直角坐标系→求出直线和平面内2条相交直线对应的向量→利用向量垂直内积为零求出平面的法向量→求出直线对应的向量与法向量夹角的余弦值即线面角的正弦值.

(3)几何法 如果考虑用几何法,就需要找到二面角B-AB1-D的平面角.由已知条件连接A1B交 AB1于E,则BE⊥AB1.易证平面AB1D⊥平面B1BCC1.如图5所示,过B作BG⊥B1D于G,则可得到BG⊥平面AB1D,从而BG⊥AB1,容易证得AB1⊥面BEG,∠BEG就是该二面角的平面角.易知BG⊥GE,设∠BEG＝θ,则其中BG可由△B1BD的等面积式得到,再解三角形求得

图5

通过证明垂直找到二面角的平面角→再解三角形求得二面角的大小.

向量法 可在2个半平面内分别找到一条与二面角的棱都垂直的直线.如图5,已知在半平面BB1C内,BE⊥AB1,所以再在半平面DB1A内找到一条与棱AB1垂直的直线即可,过D作DH⊥B1C于H,则起点都在棱上的向量的夹角,就是该二面角所成的角.又其中,需要的向量的模和夹角都可求,两边平方后,可求出

用半平面中与棱垂直的2个向量及棱上的连接向量表示开口连接向量→平方后求出与棱垂直的2个向量夹角的余弦值.

坐标法 坐标法的优势是不用考虑作辅助线,直接将所求问题转化为求半平面角的法向量和向量内积坐标运算的问题.如图3,建立适当的空间直角坐标系后,分别求出2个半平面的一法向量n1、n2的坐标,设这2个法向量的夹角为α,通过它们的内积求出cosα,设二面角的大小为θ,则θ＝α或θ＝π－α,所以cosθ＝cosα或－cosα,这只能由图观察二面角是锐角还是钝角了.

建立空间直角坐标系→分别求出2个半平面内2条相交直线对应的向量→利用向量垂直内积为零求出平面的法向量→求出2个法向量夹角的余弦并观察开口确定正负.

以上通过一道立体几何题,分析总结了解决“空间角”问题的一般思路和方法.旨在抛砖引玉,提高学生探究和总结的学习能力.希望各位同仁多指正、多交流合作.

(作者单位:河北沧州泊头市第二中学)