巧用向量的加法证明点线问题

唐祯蔚+冷震北

摘 要：向量是解析几何的基本概念之一，向量的加法包括了平行四边形法则和三角形法则。本文首先描述了向量的起源，其次利用向量加法的两个法则，直观的引入了平行四边形和三角形，借助几何图形来解决点线的问题。通过具体例子说明，向量加法解题的优势。

关键词：向量；加法；共线；内积

G633.6

纵观数学的发展史，矛盾推动数的发展。在公元前580年，古希腊数学中有名的学派：毕达哥拉斯学派 提出了：“万物皆数”的信条。并且毕达哥拉斯把这一信条作为该学派的理论基础。但是，在公元前500年，毕达哥拉斯的弟子希帕苏斯发现了一个惊人的事实，一个正方形的边与对角线的长度是不可公度量的。这一发现就与毕达哥拉斯学派“万物皆数”的哲理大相径庭。正方形的边与对角线是不可公度量的本质是什么？在当时的数学历史上，数学家们众说纷纭。人们对无理数的认识在数学历史上，具有重要的意义，它在希腊的数学史上引起一场大风暴，数学史称之为“第一次数学危机”。直到19世纪下半叶，实数理论的建立，无理数的本质才彻底的弄清楚，从而圆满解决了第一次数学危机。第一次数学危机的结束推动了无理数的出现。

在数学史中，复数的出现起源于解方程。16世纪的意大利数学家卡当在《重要的艺术》一书中公布了三次方程的一般解法即卡当公式，他是第一个把负数的平方根写到公式中的数学家。由于复数能用来表示和研究平面上的向量，而向量在物理学中非常重要，如力、位移、速度、加速度等。而人们很早就已经知道向量的合成服从平行四边形法则。数学家们很快发现两个复数相加的结果正好对应于用平行四边形法则相加的向量的和。

两个向量的加法法则有两种：平行四边形法则、三角形法则 。其中，平行四边形法则指的是将两个向量的起点通过平移的方式移至同一个起点，再以两个向量为邻边作出平行四边形，而平行四边形中与两向量同一起点的对角线向量就是两个向量的和向量。

两向量和的三角形法则指的是将两个向量依次地首尾顺次相接，两个向量的和向量为以第一个向量的起点为起点、以第二个向量的终点为终点的向量。

不论是平行四边形法则还是三角形法则，通过向量的加法解决平行四边形和三角形的点线问题是解析几何中比较便捷的方法。并且，向量作为解析几何中最基本的元素，是设法把几何的结构有系统的代数化、数量的化的基础。下面我们可以通过几个具体的例子來说明向量加法的几何应用。

一、向量加法解决三点共线的问题

三点共线问题是解析几何中的常见证明题，也是近几年来中学数学考试常见的题目，用向量加法来证明三点共线是几何里最常用的方法 。

二、向量加法证明平行四边形

在平面几何里，平行四边形是基本的四边形。中学的平面几何里证明四边形是平行四边形的方法很多。其中有一条判定定理是对角线互相平分的四边形是平行四边形。如何证明这条判定定理，在几何中有很多种方法。特别是在吕林根主编的《解析几何》一书中，指出可以用向量的方法来证明。在书中，利用向量加法的交换律，借助对角线平分的性质，最后证明了这一个判断平行四边形的判定定理。然而，在此我们可以重新给出另外一种证明的方法，例如以下的例2。

在这个例题中，巧妙的运用了向量加法的平行四边形法则。因为在向量加法成立的前提下，就已经保证了所构造的四边形就是平行四边形了，这就是向量加法的巧妙之处。

参考文献：

[1]吕林根，徐子道.解析几何（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2]李文林.数学史概论（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2012.

[3]孙浩盛，高浩.关于四边形的两个定理的向量法证明[J].中学数学，2011（1）：70-70.

[4]先开萍，章雄钢，余振.浅谈平面向量的几何运算及其应用[J].中学数学， 2008（1）：24-25.