“等体积转化法”应用例说

◇ 江苏 蔡 军

“等体积转化法”应用例说

◇ 江苏 蔡 军

转化法是解立体几何问题的重要方法,其中主要包括空间与平面的转化、线面关系与线线关系的转化、等体积转化等.其中等体积转化是指当涉及与体积有关的问题且体积又无法直接计算时,可考虑利用等体积转换求得体积,进而解决相关问题.本文以等体积转化为例,就其在解题中的应用举例说明.

1 求体积

例1 (2016年新课标全国卷Ⅲ)如图1所示,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB＝AD＝AC＝3,PA＝BC＝4,M为线段AD上一点,AM＝2MD,N为PC的中点.

(1)证明MN∥平面PAB;

(2)求四面体N-BCM的体积.

图1

图2

又因为MN⊄平面PAB,AQ⊂平面PAB,所以MN∥平面PAB.

(2)由(1)知QN∥平面ABCD,所以

通过引入辅助线构造三角形中位线,不仅轻松证明了第(1)问的结论,也为第(2)问等体积的转化创造了条件,从而使问题得到顺利解决.

2 求点面距离

例2 如图3,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,为CD上一点,DE＝1,EC＝3.

(1)证明:BE⊥平面BB1C1C;

(2)求点B1到平面EA1C1的距离.

图3

图4

(1)略.

(2)三棱锥E-A1B1C1的体积

要求B1到平面EA1C1的距离,只要求与4点B1、E、A1、C1有关的三棱锥体积,再求得△EA1C1的面积即可.

3 求线段长

例3 如图5,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,点O是对角线AC与BD的交点,AB＝2,∠BAD＝60°,M是PD的中点.

(1)证明平面PBD⊥平面PAC;

图5

(1)略.

(2)因为底面ABCD是菱形,且AB＝2,∠BAD＝60°,所以

给出三棱锥C-PBD的体积,进行等体积转化后,将其转化为三棱锥P-BCD的体积,则所求线段PA,即为该三棱锥的高,问题得解.

4 求定点位置

例4 如图6,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,PD⊥平面ABCD.点E是线段BD的中点,点F是线段PD上的动点.

图6

(1)求证:CE⊥BF;

(2)若AB＝2,PD＝3,当三棱锥P-BCF的体积等于4/3时,试判断点F在边PD上的位置,并说明理由.

证明 (1)因为PD⊥平面ABCD,且CE⊂平面ABCD,所以PD⊥CE.又因为底面ABCD是正方形,且点E是BD的中点,所以CE⊥BD.

因为BD∩PD＝D,所以CE⊥平面PBD,而BF⊂平面PBD,所以CE⊥BF.

(2)由(1)可知,CE⊥平面PBF.

又因为PD⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以PD⊥BD.设PF＝x.由AB＝2可得BD＝22,所以

因为PD＝3,所以点F为边PD上靠近D点的三等分点.

给出三棱锥的体积,求点的位置,通过等体积转化后,三棱锥的体积和高已知,底面积与点F的位置有关,因此求出面积后点F位置即可确定.

总之,解决立体几何问题除了要熟练掌握基础知识、具有一定的空间想象能力外,还要掌握重要的转化思想.本文通过体积、距离、线段长度、点的位置等问题的求解,体现了等体积转化法在立体几何中的广泛应用.

(作者单位:江苏省南京师范大学第二附属高级中学)