探索图形性质培养推理意识——青岛版《义务教育教科书·数学》七年级第九章“平行线”教学研究

☉山东沂南教育局李树臣

探索图形性质培养推理意识——青岛版《义务教育教科书·数学》七年级第九章“平行线”教学研究

☉山东沂南教育局李树臣

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标（2011年版）》安排了“数与代数”、“图形与几何”、“统计与概率”、“综合与实践”四个部分的课程内容，七年级下册第9章“平行线”是“图形与几何”的重要内容，是学习三角形、全等三角形、平行四边形、图形的平移、图形与坐标、相似形、圆、视图与投影等后继知识和利用推理证明不可缺少的基础.

本章主要内容是平面内两条直线平行的性质和判定，共安排了四个小节，教学时间约需6个课时，具体分配如下（仅供参考）：同位角、内错角、同旁内角（1个课时）；平行线和它的画法（1个课时）；平行线的性质（1个课时）；平行线的判定（2个课时）；回顾与总结（1个课时）.

一、本章内容概述及学习目标

1.知识结构（图1）

图1

2.内容概述

教科书首先以某旅游景点的照片为实例，让学生感受到现实生活中广泛存在着平行线的形象；然后，结合“道路交叉相交”的实例研究了两条直线被第三条直线所截构成的八个角的位置关系，在此基础上引入了同位角、内错角、同旁内角的概念；最后，探究了平行线的性质和判定.

第1节“同位角、内错角、同旁内角”，教科书首先立足于学生的生活经验，从观察某学校周边的道路示意图出发，引出同位角、内错角、同旁内角的概念，概括出各种角的特征.然后通过两个例题，结合图形，深化对三种角的认识，总结出三种角的识别方法.

第2节“平行线和它的画法”，首先，引导学生观察图片、实物，让学生感受日常生活中平行线的形象，通过这些丰富的实例，引出平行线的定义.然后，利用“实验与探究”展现了用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线平行线的过程，学生在动手画的过程中，感受到过直线外一点能画并且只能画一条直线与已知直线平行.从而概括出平行线的基本性质“过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”，以及“平行于同一条直线的两条直线平行”.

图2

第3节“平行线的性质”中所给出的性质，是指两条平行直线被第三条直线所截得的同位角、内错角或同旁内角之间所具有的数量关系.教科书设计了操作、实验、猜想、推理等数学活动，使学生先通过画图、叠合等活动，发现一对同位角相等，如图2中的∠1=∠5，再把这一结论推广，即由∠1=∠5出发，根据∠2与∠1互补，∠6与∠5互补，可推得∠2=∠6，再根据∠3和∠7分别与∠1、∠5是对顶角，推出∠3=∠7.类似地，可得到∠4=∠8.通过归纳得出“两条平行直线被第三条所截，同位角相等”的性质.最后安排了一个交流与发现活动，引导学生按照画平行线及经过直线外一点画直线的垂线的方法画图，再让学生通过观察、分析、思考、交流等活动发现两条平行线间的垂线段相等，从而给出两条平行线之间的距离的概念.

第4节“平行线的判定”，教科书利用“实验与探究”栏目，引导学生通过已经学过的平行线的画法，体验当同位角相等（都等于60°）时画出的两直线平行这一数学事实，再由特殊到一般得出“同位角相等，两直线平行”的判定方法.作为平行线判定的应用，教科书由简单到复杂，设计了三个例题，目的在于通过不同的问题情境，让学生进一步理解和掌握平行线的判定方法的基础知识和从图形中识别“三线八角”的基本技能，培养学生的空间观念，以及分析问题和解决问题的能力.

3.学习目标

（1）识别两条直线被第三条直线所截得的同位角、内错角、同旁内角.

（2）理解平行线的概念，掌握平行线的基本性质：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，能用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线.

（3）探索平行线的性质：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补.

（4）探索平行线的判定方法：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等（或内错角相等，或同旁内角互补），那么这两条直线平行.

（5）了解两条平行线之间距离的意义，能度量两条平行线之间的距离.

（6）了解平行于同一条直线的两条直线平行.

（7）经历观察、操作、想象、推理、交流等过程，积累数学活动经验，进一步发展空间观念、推理意识，以及有条理的思考和表达能力.

二、编写时注意的几个问题

1.注意贴近学生现实

本章的内容具有丰富的实际背景，在现实世界中也有着广泛的应用.因此，我们在选择课程内容时，根据《课标（2011年版）》在“课程基本理念”中提出“课程内容的选择要贴近学生的实际，有利于学生体验与理解、思考与探索”的要求，结合具体的内容，在反映数学本质的前提下，尽可能地贴近学生的现实，使他们经历从现实情境中抽象出数学知识与方法的过程，以及将所学知识应用到实际中去的过程.

教科书选用了浙江省的一处旅游景点——飞龙大桥的照片作为章头图，照片中有丰富的平行线、相交线及同位角、内错角、同旁内角的形象.第1节用到的学校周边的道路示意图中含有两条直线被第三条所截的形象，在学生观察图形中八个角位置关系的基础上，引出同位角、内错角、同旁内角的概念.第2节，通过让学生观察六棱铅笔中同一个面上的两条相对的棱所在直线的关系以及黑板的上、下边缘、左、右边缘所在的直线的位置关系，引出平行线的概念.

2.突出整体性

《课标（2011年版）》指出“教材编写应当体现整体性，注重突出核心内容，注重内容的相互联系，注重体现学生学习的整体性.”在本章的编写过程中，我们对教材的整体性给予高度重视，并努力在教材中加以体现.

平面内的两条直线的位置关系有平行与相交两种，学生在第二学段已经了解直线的平行和相交关系，积累了初步的数学活动经验，前一章又学习了角的表示、角的比较和度量、余角、补角、两条直线相交所生成的对顶角、两条直线相交的特殊情况——垂直等内容.这些都与本章的内容有着密切的联系，编写时对此予以重视.

第2节“平行线和它的画法”是本章的重点内容之一.主要包括平行线概念的建立，用直尺和三角尺画平行线，基本事实：过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，以及它的推论：平行于同一条直线的两条直线平行.本节内容利用学生熟悉的生活实例抽象出数学中存在两条直线不相交的位置关系，然后给这种位置关系加以命名，并用数学符号表示；再通过让学生经历用三角尺和直尺画平行线的过程，感受上述基本事实（本节中暂不出现这一名词，只说这是一条基本性质）.由于命题“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行”是基本事实的推论，所以按照知识的逻辑顺序放入本节.为了得到这个推论，教科书又设计了用三角尺和直尺画图的活动.目的在于让学生通过画图探索得到这一结论，并将叙述方式改为“平行于第三条直线的两条直线平行”.为了让学生感受这个命题与基本性质的逻辑关联并渗透逻辑推理的思想，在“挑战自我”栏目中，引导学生尝试用平行线的基本性质说明平行于同一条直线的两条直线平行的道理.教科书先借助卡通人物说出利用平行线的基本性质推证这一结论的初步设想（设它们相交，那么……），启发学有余力的学生通过进一步思考发现矛盾，从中接受反证法思想的启蒙，并感受基本事实的作用；然后又利用阅读材料“传递性”拓宽了学生对平行线的认识.这样设计使得本课时层次清楚、活动内容充实，并能反映数学知识间的内在联系，使学生对本节内容有整体性的认识.

3.重视推理能力的训练

《课标（2011年版）》把“推理能力”作为核心词之一.并强调说，推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式.推理一般包括合情推理和演绎推理.我们力求把培养合情推理与演绎推理作为贯穿本套教材的主线之一.本章特别注重实验几何的教学，对于平行线的基本事实、性质及判定方法等知识，都是利用“观察与思考”、“实验与探究”、“交流与发现”等栏目提出有关的问题，以此引导学生进行动手操作、实验、交流、猜想、验证等数学活动，在“亲身”体验有关数学知识的发生和发展进程中发现新知，这样就为学生的自主发展创造了广阔的空间，使他们能自主探索图形的性质，不断提高合情推理能力，以及有条理地进行思考与符合逻辑地进行表达的能力，从而逐步养成推理的意识.

例如，为了引出两条平行线之间的距离，教科书通过“交流与发现”栏目提出四个问题，引导学生首先画两条平行线，然后在其中一条直线上从两个不同的点向另一条直线作垂线，并度量这两条垂线段的长度.学生通过操作、观察、分析、思考、交流等活动，将会发现两条平行线间的垂线段相等，在此基础上，给出了平行线之间的距离的概念.这种处理方式，将实验几何与论证几何有机地整合在一起，使学生经历了一个实验、探究、归纳、推理的全过程.并且还能感悟“平行线间的距离”与“点到直线的距离”、“两点之间的距离”等相邻概念的联系.

三、教学建议

1.注重问题情境设计

数学教学活动应体现《课标（2011年版）》提出的“问题情境—建立模型—求解验证”的模式，为此，教师要根据学习内容，结合学生的学习实际精心创设问题情境，以此引导学生去进行探究、发现等活动.数学教学所要解决的并不是那些尚未解决的数学问题，而是前人已有数学知识的再发现.为此，教学中应立足于学生的生活经验和已有的数学活动经验，创设恰当的问题情境，引起学生有目的的思考与探索.

例如，在给出同位角、内错角、同旁内角及平行线等概念时，都要根据具体内容结合生活实际创设恰当的问题情境，使学生经历从现实生活中抽象出几何图形的过程.

2.加强实验操作，发展直观感知能力

《课标（2011年版）》强调改变学生的学习方式，指出：“学生学习应当是一个生动活泼的、主动的过程.学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程.”在学习某些几何图形的有关知识时，可通过引导学生进行实验、观察、操作等活动，在活动的同时领悟到这些知识的形成过程，这样既发展了学生的思维能力、理解能力、创造能力及直观能力，又能将新知识与已有知识有机地结合起来，还能增强学生学习的主动性，可谓“一举多得”.

例如，在引导学生探索“两直线平行，同位角相等”时，可设计以下四个活动：

（1）如图3，教师用三根硬木条制成“三线八角”活动教具.把木条a，c固定不动，让木条b绕着A点转动，显然∠1的大小也在变化.

师：b转到什么位置时，有b∥a？

生：b转到图3所示的虚线位置时，有b∥a.

图3

图4

（2）如图4，教师演示过直线AB外一点P画AB平行线的方法，让学生观察画平行线的过程.

师：在上述演示过程中，三角板的一边为什么要紧贴着直尺进行移动？

生：为了保证∠BGF=∠DHF.

设计说明：“三线八角”是同学们熟悉的几何图形，通过上述的演示变化，使学生感受到同位角相等，两直线平行的判定方法实际上是“三线八角”图形的一种特殊位置.在这里，渗透了运动变化、特殊与一般可以相互转化的数学思想方法.让学生观察用直尺和三角板画平行线的过程，目的是让学生通过观察、思考、发现“移动过程中的不变量——角”.由以上两个演示实验，让学生认识到，可以用“数量关系——角相等”来判断图形的“位置关系——两直线平行”.

（3）引导学生进行探究活动并发现规律.

师：从前面的论述中，你发现了什么？

生：判断两直线平行的问题，可以转化为判断两个角相等的问题.

师：你能用自己的语言把你所发现的规律叙述出来吗？

生：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单说成：同位角相等，两直线平行.

（4）指导学生用图形语言、文字语言和符号语言分别表示“平行线的这一判定方法”.然后再辅以适当的练习，学生就可以完成对这个判定方法的学习.

3.充分利用现代信息技术

《课标（2011年版）》指出：“信息技术的发展对数学教育的价值、目标、内容及教学方式产生了很大的影响.数学课程的设计与实施应根据实际情况合理地运用现代信息技术，……有效地改进教与学的方式，使学生乐意并有可能投入到现实的、探索性的数学活动中去.”几何中的有关内容可以借助于计算器（机）形象地展示给学生，并且得到较好的解决.本章中可利用现代信息技术，动态地展示两条直线被第三条直线所截，两条直线的位置关系与相关各角大小关系的变化过程，感受二者之间的联系，提高学生的学习兴趣.H