一道导数题的探究历程与感悟

☉浙江省绍兴市柯桥区鉴湖中学　张爱萍

一道导数题的探究历程与感悟

☉浙江省绍兴市柯桥区鉴湖中学张爱萍

在解题中我们经常会面对一些思维困境，这些困境产生的原因，可能是题目的本质不能准确识别或解题策略的选择不恰当或题目条件运用的不充分，因此在解题中要善于及时变换思考问题的角度，大胆地挖掘条件的特定含义，对问题进行重新的审视与分析.这些就是解决数学难题较为有效的途径.

一、问题展示

在很多时候，不少学生会纠结于如何提高自己的解题能力.笔者一直认为提高解题能力，需要解题经验的积累，运算能力的提高，思维能力的开发，以及一定的数学素养的提升.尽管如此，我们在遇到难题的时候，也会经常出现百思不解，破题无门，望题兴叹的状况.最近笔者遇过一道导数题，现将笔者的感悟与读者分享.

问题已知m∈R，f（x）=2x3+3x2+6（m－m2）x.

（1）当m=1，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

二、疑云重重

这道试题第二问可以获取的信息有：多元恒成立问题，函数f（x）应该有两个极值点，图像过原点，在区间［k，0］上恒成立，求最小值k（m）可能要判断f（x0）=20时x0的值，面对这些信息，我们的思维可能要陷入困惑：

（2）常规的想法是可能要把（m－1）2（1－4m）的最大值求出来，使得［（m－1）2（1－4m）］max≤f（x），是不是要构造函数g（x）=（m－1）2（1－4m）求最大值？

（3）两个极值点x1，x2和区间［k，0］是什么关系？需要分类讨论吗？

（4）y=20究竟有多高？会比区间［k，0］内的极大值高还是低？

三、拨云见日

波利亚认为：“对自己提出问题是解决问题的开始，当你有目的地向自己提出问题时，它就变成你自己的问题了.”其实对于每个初遇该题的人，都会或多或少地考虑上面的问题.然后随着思考的深入，便会出现两种结局，要么是为越想越复杂而烦恼，最终彻底放弃；要么是随着对谜底的层层解开，山重水复疑无路，柳暗花明又一村，而最终豁然开朗.

1.解题不能仅靠空想，步步为营思路衔接

解数学题最忌讳的是“只是想想，就是不写”.教学中经常遇到这样的学生，只要听到教师说我们应该怎么思考，结果该同学就会迫不及待地问：“老师，那下一步呢？”这时教师会很严厉地训斥一番：“你能不能先把这一步写出来？写出来再看下一步，也许你自己就会知道该向哪个方向去思考了.”比如，上面的考题，同学们就应该先把函数f（x）的极值点搞清楚以后，再想下面的事情：

f′（x）=6x2+6x+6（m－m2）=0，即x2+x+m（1－m）=0，解得x1=－m，x2=m－1.当f′（x）＜0时，－m＜x＜m－1；当f′（x）＞0时，x＜－m或x＞m－1.所以，函数f（x）的单调增区间是（－∞，－m）和（m－1，+∞），函数f（x）的单调减区间是（－m，m－1）.因此，函数f（x）的极大值为f（－m），函数f（x）的极小值为f（m－1）.

2.相信方法就在题中，寻找破绽碰碰运气

同学们写到这里往往就会停下来，忙着论证两个极值点在y轴的哪一侧，准备绘制草图（如图1、图2）.

图1　

图2　

但并没有给我们带来多大的启发.其实一个绝好的隐含条件被我们给忽视了.继续计算可得f（-m）=4m3-3m2，f（m-1）=（m-1）2（1-4m），前者没有多大意义，关键是后者.只要仔细观察，不难发现这个条件的特殊含义，即不等式（m-1）2（1-4m）≤f（x）≤20就是f（m-1）≤f（x）≤20.这样的发现，肯定不是事先空想就能意料到的，至此我们的解题思维再次被扩开.当m-1≥0，如果函数f（x）在区间［k，0］上满足f（m-1）≤f（x）≤20，要求k的最小值，必有k≥x0，其中f（m-1）=f（x0）或者f（x0）=20；当m-1≤0，显然k的最小值肯定位于极小值点的左侧，然后就和前者一样了.

3.遇事多往好处想，挖掘条件去繁求简

前面研究到这里，大家都会纠结于f（x）≤20怎么处理，也就是y=20究竟有多大？是否要讨论我们的极大值f（-m）和20的大小关系？如果这样一想，这个题目基本上无法进行下去了，因为再讨论估计又要三种情况，两种情形合计六种情况，估计很多人会再次陷于困境之中，解题的队伍会越来越小.可是我们如果把事情考虑详细点，不把命题想的那么繁杂，也许就不用讨论这么复杂，肯定有隐含条件能使得讨论简单化.当然我们也可以勇敢点，就来研究极大值有多大，因为这个条件不会没有用武之地.

当m-1≥0，即m∈［1，2］时，f（0）=0，令g（m）=4m3-3m2，则g′（m）=6m（2m-1）＞0，所以函数g（m）=4m3-3m2在［1，2］上单调递增，g（m）≤g（2）=32-12=20；当m-1≤0，即，g′（m）=6m（2m-1）＞0，所以函数g（m）=］上单调递增，g（m）≤g（1）=1≤20.可见，前面的顾虑都是多余的，f（x）≤20是恒成立的.

4.转化命题推进问题深入，思维连贯脱颖而出

到此，我们已经把f（x）≤20的问题给解决了，现在再来处理f（m-1）≤f（x），而这里要求kmin实质上就是要解方程f（m-1）=f（x0），由于f（m-1）相当于常数，也就是要解一个三次方程2x3+3x2+6（m-m2）x-（m-1）2（1-4m）=0.对于三次方程求解主要是因式分解，其次是待定系数法、试根法、图解法等.再想一想，我们在解三次不等式的时候，是不是还遇到过“奇穿偶不穿”的问题？

接下来再看看本题中方程f（x）=f（m-1）的解，注意到直线y=f（m-1）与函数f（x）图像在极小值点x=m-1处相切，因此x=m-1应该是方程的二重根，即x1=x2=m-1，第三个根是x0，因此作为三次方程肯定可以分解因式为2（xm+1）2（x-x0）=0，不用待定系数也可以观察出2［-x0×（m-

综上，审题是解题的基础，思维受阻往往是对条件没有进行仔细观察和思考，忽视了某些条件的重要作用.上面的问题中一个至关重要的条件就是不等式（m-1）2（1-4m）≤f（x）≤20的左边与函数极小值f（m-1）的关系.在解题思路不明确的情况下，按照正常思维方式求出极小值和极大值之后，稍微观察一下，还是会有重要的发现.审题，不要漏掉任何一个线索，一个不起眼的条件或许就能开启成功的大门.

在解题中，当遇到一道难题时，某些同学就会对题发呆，虽然绞尽脑汁，灵感也总是出不来，自己着急，老师也替学生发急.其实题目中的每个条件都具有自己的特定含义，我们不妨把它们转化一下，哪怕是一小步，想到什么，就先写出什么，化一化、算一算，也许在写的过程当中就可以得到一些启发.

例题若m个不全相等的正数a1，a2，…，am依次围成一个圆圈，使得每个数ak（1≤k≤n，k∈N）都的是其左右相邻两个数平方的等比中项，则正整数m的最小值是多少？

对于初次见到该题的同学，估计一眼不会看出这个题目到底是要考什么，表面上看就是一道普通但又很陌生的等比数列问题，再看它们每项围成一个圆圈，又好像是排列组合题.在以前做过的题型中似乎找不到一个确切的数学模型，想不到哪一种解题模式可以套用.但是我们写几项总是可以的吧.

因为每个数ak（1≤k≤n，k∈N）都得是其左右相邻两个数平方的等比中项，不妨任意取两个，比如2，3，我们不难写出它的第三项，即再写第四项是见，函数f（x）在区间［k，0］上满足f（m-1）≤f（x）≤20，要求k的最小值，必有k≥x0，可得，在写的过程中发现每一项都是前两项的商，这样写起来就方便了还可以发现，它们是呈周期出现的，最小正周期是6，至此得到本题答案6.

数学问题的解决经常伴随着困难、挫折和失败.有些学生在思维受阻时，冥思苦想，不肯放弃原有思路，最终一无所获.也有的同学碰到难题，急于求成，一旦思路受阻，找不到切入点，就会心慌意乱.因此，在遇到思维受阻时，如果我们能够冷静地观察，寻找题目特定条件中的微妙的含义，迅速转换思考问题的角度，解题灵感也许就会出现.F