例谈数学教学中要挖掘什么

☉安徽省临泉第二中学　肖玲　李晓东

例谈数学教学中要挖掘什么

☉安徽省临泉第二中学肖玲李晓东

“问题导学”必须“从一些具体的事例、熟悉的知识中探究概念的本质属性和非本质属性，将共同的本质属性归纳、概括出来，形成相应的概念.［1］”譬如三角函数的概念，就是通过初中所学的锐角三角函数的概念，以及学生熟悉的角的概念的推广，将两者中的共同的本质属性揭示出来，即锐角的顶点放在坐标原点，始边即直角三角形中锐角的邻边与x轴的正半轴重合，相应的直角三角形的邻边、对边便对应角的终边上一点的横坐标、纵坐标，这样对于锐角三角函数的概念就自然地通过角的终边上一点的坐标这一共同的本质属性表示，角的终边绕坐标原点旋转时，对边、邻边这些量已经无法体现，但是角的终边上一点的坐标始终存在，为下一步的三角函数概念的推广奠定基础.再如复数的引入，就是通过学生熟知的自然数集到整数集、整数集到有理数集、有理数集到实数集的演变，让学生明晰在每一次演变过程中，由于在原数集中无法得到解决的问题，需要引进新的数，在引进新数时必须添加新的符号，而且还要保持原有的运算法则不变这些基本原则，于是学生自然而然地会想到，在解决方程x2=-1时，必须引进新的符号，而且复数单位i可以和实数进行四则运算，这样使复数的引入水到渠成，也为复数的运算奠定基础.通过“问题导学”不但让学生认识到知识发生、发展的过程，而且对知识的共同的本质属性也有更加清楚的认识.

在“问题导学”中，通过对概念的正、反例证，让学生明确概念的内涵与外延，达到对概念的准确认识和掌握，如函数增减性的概念，就是要通过正、反例证，让学生清楚单调性是相对于区间而言，并且是区间内任意两个数x1、x2，当自变量增大时引起函数值的增大（或减小）等这些关键性因素.

问题是数学的心脏，只有设计符合学生的知识基础和认知规律的问题情境，让学生带着问题去思考、去探索、去交流，学生才能在不知不觉中认识概念，掌握概念的核心与本质，也才能最大限度地发挥学生的主体作用，提高学生的数学思维能力，并使数学思想方法在潜移默化中得到领会和掌握.

1.王桂芹.高中概念课中数学思想方法教学的案例研究［J］.中学数学（上），2015（7）.

2.中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准［M］.北京：人民教育出版社，2006.

3.王克亮.高三数学复习课中“问题导学”的实践［J］.数学通报，2015（3）.Y

众所周知，高三复习教学中需要一定的试题量训练，特别是复习教学中大量的试题训练给学生带来的知识混沌，这种情形在一线教学中常常遇到.在国内教育论坛中，常常看到学生这样的评述：上课听懂了老师讲的问题解法，但是为什么这么做？如何想到的？根本不明白.笔者认为，这应该属于教师对于试题讲评的不透彻引起的，这种不透彻往往只是将答案进行了传递，而没有对知识进行梳理或系统的整合，教师对这种试题讲得再多也无法提高学生的数学水平，顶多是培养了学生对于一些基本问题的熟练程度，笔者发现这样的教学在当下高三复习教学中却不是少数，情形令人堪忧.

讲题如何讲？讲哪些题？罗增儒教授早在解题学引论中说：“水平最低的教师是逐题讲评，好一点的教师是一题多解式评，水平最高的教师是以点及面的评.”笔者认为，要想提高复习教学的效率、提高解题教学的效率，教师还是需要学习试题讲评的方式方法，要从关注学生学情的角度出发，积累、创新讲题的方式与方法.下面笔者结合案例来谈一谈复习教学中如何讲题.

一、挖掘数学本质

近年来，对于数学本质的考查愈来愈多地呈现在数学试题中，比如，对圆锥曲线概念的理解、向量数量积更深层次的理解、数列中函数本质的思考等，这些问题往往让应试训练、题海战术失效，让学生对于数学理解的深刻性跃然纸上，让学生层次的区分度也显得明朗化.

例1在Rt△ABC中，斜边为AB，BC=2，正三角形BCD满足AB⊥BD，点P在等边△BCD内部（含边界）运动，记E为AB的中点，若λ，μ∈R），则λ+μ的取值范围是_________.

分析：本题是一次高三复习课教学中，笔者聆听一位教师在平面向量基本定理复习课中使用的例题.从本题的题意来看，向量知识借助了三角形为载体进行了设计，是平面向量基本定理的使用体现，这一点一般师生都能发现，要解决λ+μ的取值范围，则主要是研究点P的运动区域即可.让我们来看看该老师课堂教学中的解决方法.

解法1：如图1，以B为原点，以AB、BD所在的直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系.

图1　

思考：考虑到本题图形适合建立坐标系，因此教师用建系坐标化的方法将其分解、演算、学生操作，通过简化将问题转化为线性规划问题解决.最后教师询问学生是否找到了问题的本质？学生回答：是线性规划问题，利用坐标将其关系理清，并合理地运算即可.笔者认为：这位教师对于本题的理解还不足，其根本没有认识到本题的本质和核心，即平面向量基本定理的使用.若按照该教师的坐标数量化的解法，学生在考场中的时间使用必定是不够的，而且也违背了高考选拔学生一贯的原则：注重思维、注重思考比运算更为重要.由于问题的本质为平面向量基本定理，那么如何理清这一思维呢？笔者

令以为，可以用图2和图3来深刻地理解平面向量基本定理，若要想更进一步地掌握和深思可以参见文1.

图2　

图3　

学生所学习的直角坐标系可以看成是两个相互垂直的单位向量作为基底的一种分解，那么我们可以类比正交分解到斜交分解，类比直角坐标系到斜角坐标系，利用向量中三点共线的性质（O，A，B是不共线三点，对平面上任一点Q，有—则点Q在直线AB上的充要条件是x+y=1），我们清晰地认知了这种表示关系，为了表述简单，我们将上述的直线称之为基线，其他直线间的距离均相等.这样我们就找到了这些问题的共性，即研究斜角坐标系中分解的单位向量的长度（可以将非单位长度向量看成一个整体）.我们可以这样向学生讲题，进而渗透数学问题的本质.

图4　

解法2：同学们可以类比上述两幅图，如图4，用斜角坐标系，以E为原点，EB为λ轴，EC为μ轴建系.μ），当点P在BC上时，易知P，B，C共线，所以λ+μ=1.

思考：这样的反映平面向量基本定理的问题还有许多，它灵活地将平面向量基本定理活用到了斜角坐标系中，不再拘泥于坐标系非得正交的拘束，说明对问题的本质已经看透了，这样的思维替代了计算，这种挖掘是有助于学生思维的培养，这也符合了新课改后高考中问题的应试方向.有兴趣的读者可以继续研究这样的类似问题：

（1）已知点A（1，-1），B（4，0），C（2，2），点P满足则点P（x，y）组成的平面区域的面积为_________.（答案：8）

二、挖掘数学算理

有了本质的挖掘，学生自然学会了思考.学会思考才是数学教学需要做出的正确方向.迎着本质，学生还需要在解题学习中学好什么呢？自然是算理.何为算理？算理指的是数学问题解决的运算原理.通俗地说，就是为什么要这么做？为什么要如此想、如此算？我们常常听到学生说：老师，你的方法是好，可是我想不到！笔者想问：想不到的理由是什么？为什么学生想不到好的方法？为什么学生错了，以后还会错？其实归根到底是不明白算理.举一个“等差数列求和”新课教学案例.

例2等差数列｛an｝的前n项和Sn=m，前m项和Sm=n（m≠n），求前m+n项的和Sm+n.

分析：这是教材课后的一个习题.笔者将其拿来作为一次测试中的第一道解答题，目的是想看看学生是否明白教材中本题的算理.从学生反映的情况来看，真正理解合理的算法、算理的学生少之又少，绝大部分学生都是用公式求解首项和公差，直到陷入烦琐计算之中，能真正得到最终答案的学生不到三分之一.笔者请学生描述学生的典型思维.

解：设｛an｝的公差为d，则由Sn=m，Sm=n（m≠n），得

在运算过程中，能解决问题的学生都使用了整体代入降低了运算量，一味求解首项和公差的学生能最终得到答案的少之又少.学生课后反问：为什么我这么做解不出来？究其原因，恰是因为学生不明白问题运算的合理算理和算法，这种合理算法背后却是与数列本质有着密切的联系.

众所周知，等差数列的通项公式是关于自变量n的一次函数，其求和公式从函数的观点来看，即Sn= An2+Bn（必过原点的函数），因此教师将下列解决方法传授给学生，让学生明白这一问题的合理算理.

优解：设Sn=An2+Bn（n∈N*），则我们可以将其整理为Sn= -④得A（m2-n2）+B（m-n）=n-m.

因为m≠n，所以A（m+n）+B=-1，所以A（m+n）2+B（m+ n）=-（m+n），所以Sm+n=-（m+n）.

思考：算理就是一种合适的运算原理.上述问题学生第一次遇到，自然利用首项和公差等基本量去思考，也是一种自然的条件反射，但是稍作运算就发现这种思维简单、运算量大的方式并不适合本题，进而反思等差数列的函数本质是什么？从函数本质下手，轻而易举地发现了合适的算理，这种算理也就不是“天马行空”的，而是具备合理的依据产生的.这样的算理不仅简化了运算，更从思维上帮助学生提高其数学解题需要挖掘的元素.有兴趣的读者可以研究下列类似的问题：

（2）已知，注意条件|c-b|=2|c-a|反映的是阿波罗尼斯圆）

总之，数学教学教什么？一味地教双基和熟练化程度运算，已经不适合当下新课程改革的要求了.从新课程对学生愈来愈高的数学能力立意、思维的考查来看，教师教学更要注重对数学问题背后的挖掘，这种挖掘有数学概念、数学算理、思想方法等，笔者以自身教学的一点心得做出了一些不够完善的思考，恳请读者批评斧正.

1.沈恒.陈旧的问题改进的认识［J］.中学数学（上），2011（11）.

2.鲍梅.有效的数学学习策略［J］.中学数学教学参考，2009（7）.

3.刘长春.在函数教学中实施变式教学［J］.数学教学，2013（12）.F