“尝试、碰撞、提炼、变式”组成数学解题教学“四环节”——以平面向量共线定理应用为例

2016-11-25江苏省西亭高级中学施林丽

中学数学杂志 2016年5期

☉江苏省西亭高级中学　施林丽

☉江苏省西亭高级中学施林丽

解题教学作为高中数学课堂教学中的一个重要组成部分，它一方面可以有效地提高学生解决问题的能力，另一方面还可以促进学生对已学过的基本知识、相关概念和运算规则的理解，对学生学好数学有着积极的意义.但目前解题教学中还存在很多不良的现象，比如，大题量的训练和讲解，深陷“题海”不能自拔；就题论题、蜻蜓点水，不关注解题的认知发展价值，也不关注学生的学习规律，进行大量的“套题型”训练，导致学生思维僵化等.因此，怎样使得解题教学在高中数学课堂教学中充分发挥它的功能应该成为每一位高中数学老师必须思考的问题.

一、在“尝试”中寻找解题入口

在解题教学中，很多教师先展现问题，然后就迫不及待地开始讲题，恨不得把所有好的解题方法“一股脑”地传授给学生.他们希望通过自己精彩的讲解，让学生以最快的速度掌握相关的解题方法和技巧.其实教师的想法是很美好的，但不符合教育教学的规律.按照建构主义的观点，学生解题水平的提升必须要立足原有的解题经验，然后通过新问题与旧经验之间建构起意义上的联系，通过有意义的同化和顺应，最终才能形成相关的解题思维.教师只顾讲解和灌输，却忽视了学生原有的认知水平和已有的解题经验，因此这样的解题教学很可能导致无效.

例1如图1，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、DC的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？

本题是教材（人教A版）中的例题，教材希望通过此题来阐述向量法在解决平面几何问题中的重要应用.教材中提供的解法如下：

图1　

若教师直接照搬教材的解法，恐怕效果会适得其反.这是为什么呢？因为，此题是也是初中平面几何的经典题目，而且若用传统平面几何的解法非常容易解决.易猜得AR=RT=TC.通过证明三角形相似或者连接BD利用R、T重心性质就可以快速得到所需的结果.相比而言，向量法就不那么简洁明了.于是学生心中就要产生疑惑：既然平面几何的方法如此的简单，那为何要用向量法呢？基于学生“求简、求快”的心理，即使教师把向量法讲解得再透彻，恐怕也很难被学生重视和接受.

其实，在解题教学中，教师必须要了解学生已有的认知基础和解题水平，然后才能起到“对症下药”提升解题能力的作用.了解学生的最好办法，那就是先让学生进行“尝试”解题，按照他们的理解对题目做初步的探索.在尝试过程中，不仅可以暴露学生思维和潜在的问题，又可以使学生自主完成内化过程，而这正是教师把正确解法直接灌输给学生所无法实现的.

对于例1而言，向量法与传统的几何法相比处于“劣势”，学生还是喜欢选择几何法.但这不要紧，例1只是一道“开胃菜”，让学生明白向量法还可以解决平面几何问题.此题为后续的题目起到了抛砖引玉的作用.

例2如图2，在△ABC中，O—→C=—→M；

（2）在线段AC上取一点E，线段BD上取一点F，使EF过M点，设

图2　

（1）试用a，b表示O

此题可以看出是在例1的基础上变动了点的位置，由中点变为四分之一点，但传统的几何法对此题就显得苍白无力.

二、在“碰撞”中明确解题方法

解答方法与策略并不是靠教师强行灌输，而是要在学生独立思考的基础上，让学生就某一问题各抒己见，引出学生之间的认知冲突，并进行生生之间、师生之间多边的思维碰撞.思维碰撞能产生绚丽的火花，苏格拉底用问题性对话引发学生的思维碰撞，从而提升认识、统一了思想；教育家朱熹十分强调“博学”、“审问”、“慎思”、“明辨”、“笃行”，这些都是对“思维碰撞”最好的注释.解题教学更需思维碰撞，在碰撞中交流、互相启发、合作探讨，从而找到合乎情理，容易被学生接受的解题方法与策略.

例2改变了学生对向量法的看法.借此机会，教师可以引导学生尝试用向量法，通过合作学习、成果展示的形式和学生一起探索向量法的解题步骤.

图3　

若按照传统平面几何的角度去审视题目的第（2）问，绝对是一个“难题”，但此题却可以由第（1）问的结论轻松证明.至此，学生发现向量法与几何法相比更具一般性与灵活性，这就是学生在思维碰撞后的最大收获，向量法的学习兴趣也被激活了.

例3如图3所示，点A、B、C是半径为1的圆O上的三点，线段OC与线段AB交于圆内一点M，若=1，得OC的中点、A、B三点共线.由于M是OC与AB的交点，所以M就是OC的中点，所以

例3的解答使得向量法的优势得到了充分的展现，学生从内心开始喜欢向量法.让学生切身体会到新方法的实用、方便远比教师强行灌输强.

三、在“提炼”中总结解题策略

通过精心设计例题，使学生认识到了各种解法的优劣，但解题教学并不单纯是为了求得问题的结果和罗列尽可能多的方法，其核心教育价值是巩固和深化知识的理解，感悟数学思想方法，发展数学认知水平，而要实现这一目的需要通过“提炼”获得.提炼解题方法的适用条件及步骤，提炼方法之间的联系，比如，这种解法的切入口是什么？一般这类题可以采取怎样的方法等，从而实现“解一题，会一片，通一类”的效果.

通过上述三道例题，学生逐渐明白向量是形与数的高度统一，它集几何图形的直观与代数运算的简捷于一身，在解决平面几何问题中有着奇特的功效.“平面向量共线定理”在判断平面几何点、线之间位置关系上具有工具作用.学生可以得到以下结论：解此类题目的关键是找到两组满足三点共线条件的点，然后利用共线定理联立方程，最后解方程；涉及的主要思想方法有待定系数法、基底思想与等价转化思想.

提炼不仅可以帮助学生回顾有关知识、解题方法及理解题意的过程，而且可以总结出有益的经验，这些经验有的是解题的策略，有的是解题的元认知知识，将他们运用到新的问题中去，将成为解题时联想的基础与行动的指南.提炼就是磨砺解题武器的过程，它所起到的举一反三的作用，胜过做十道题.