数学教学中设置“似是而非”问题的实践与思考

☉江苏省南京市教学研究室　朱建明

数学教学中设置“似是而非”问题的实践与思考

☉江苏省南京市教学研究室朱建明

新课程倡导以学生发展为本的理念，鼓励课堂教学方式的创新，注重学生充分参与数学学习的过程，促进有效的数学活动开展.因此，为了帮助学生正确理解概念，熟练技能，掌握方法，作为有效载体，数学“似是而非”问题被广泛设计并运用于课堂教学中，激发了学生学习的积极性、主动性，也深受广大教师的喜爱.

数学“似是而非”问题以学生学习的易错点、疑惑点为素材设计的教学问题，通过师生质疑交流，探究这些问题中不易被发现的错误的原因，在纠错中澄清错误，使学生获得正确的认识.下面就以江苏科技出版社出版的初中数学教材《义务教育课程标准教科书·数学》中的教学内容为例，谈谈数学教学中设置“似是而非”问题的实践与思考.

一、辨析概念，揭示内涵

数学概念是数学的逻辑起点，是学生认知的基础，是学生进行数学思维的核心.概念教学是数学教学的基石，在初中阶段，有大量的新概念需要学生理解和掌握.对每个新概念的教学，教师都可以设置相应的“似是而非”问题，引导学生从不同层面去理解概念的内涵，界定概念的外延，使学生形成正确、清晰、完整的数学概念.

例1“6.1函数（第1课时）”（八年级上册）在得出函数概念后，提出问题：

（1）某宾馆有58个客房，每个客房的门锁有3把钥匙，如果一把钥匙只能开一把锁，那么门锁是钥匙的函数吗？为什么？

（2）如果y是正数x的平方根，那么y是x的函数吗？为什么？

（3）数轴上的点A到原点的距离是x，点A表示数y，那么y是x的函数吗？为什么？

函数是初中数学的核心内容，是揭示事物之间变化规律的有效手段.与常量数学不同，函数不是表示一个确定的数值，而是反映变量与变量之间的依赖关系，因此，函数概念是初中数学教学的一个难点.本例设置的三个“似是而非”问题，问题（1）中的门锁和钥匙都不是数值，问题（2）、（3）都与“对于x的每一个值，y都有唯一值与它对应”不符，通过学生对这三个问题的交流讨论，可以帮助学生进一步理解函数概念的本质.

例2“8.3频率与概率（第2课时）”（八年级下册）在本节课“数学实验室”的教学之后，提出问题：

下列说法正确吗？为什么？

（1）在一定条件下大量重复进行同一试验时，随机事件发生的频率就是概率；

（2）抛掷质地均匀的硬币正面朝上的概率是0.5，表示抛掷1000次硬币必有500次正面朝上.

初中数学中的有些概念，学生对其理解需要有个过程，“概率”就是不易理解的概念之一，本例将“概率”与“频率”两个概念重组，引导学生通过对上述“似是而非”问题的辨析，强化对它们之间关系的认识，帮助学生纠正错误，正确理解“一个事件发生的可能性大小的数值”所表达的意义.

二、判别命题，明辨真伪

表达数学判断的陈述句或用数学符号联结数和表示数的句子的关系统称为数学命题.数学命题的教学是获得新知的必由之路，也是提高数学素养的基础.在命题教学中，通过设置“似是而非”问题，引导学生学会判断命题真伪，掌握推理论证方法，从而加深学生对数学思想方法的理解和运用，培养良好的数学思维品质.

例3“1.3探索三角形全等的条件（第8课时）”（八年级上册）在本课例8的教学之后，提出问题：有两条边分别相等的两个直角三角形全等吗？为什么？

图1　

本例中，如果是两个直角三角形的两条直角边分别相等，那么可以用“SAS”证明两个三角形全等；如果是斜边和一条直角边分别相等，那么可以用“HL”证明两个三角形全等；如果是如图1中的“错位”相等，即AC=EF，BC=DE，那么这两个三角形不全等.这个“似是而非”问题把三角形全等的判定进行了一个综合应用，突出了“两个直角三角形有三个相等条件，它们也不一定全等”的情形，因此设置这个“似是而非”问题具有较高的教学价值.

例4“6.4探索三角形相似的条件（第3课时）”（九年级下册）在本课例4的教学之后，提出问题：

图2　

如图2，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，如果那么可得DE∥BC，但如果，那么DE与BC平行吗？为什么？本例中，如果将这个问题中的条件与结论倒置，即DE∥BC，那么易得△ADE～△ABC.于是正是这一特性，使得这一“似是而非”问题能够纠正许多学生的错误认识，因为两个三角形中，如果两边成比例且其中一边的对角相等，这两个三角形不一定相似，这也是学生学习三角形相似中的易错点.本例教学应从构图出发，辅以说理，可以引导学生较好克服这一易错点.

三、体验规则，感受差异

初中数学有许多新的运算规则，有理数的运算、根式运算、分式运算都有各自的运算规则，方程（组）、不等式（组）的解法也各不相同.在这些内容的教学中，可以编制数学“似是而非”问题，通过学生辨别体验，帮助他们感受其中各自运算规则的特质，理清不同规则的差别，以便增进学生的运算技能.

例5“3.4合并同类项（第1课时）”（七年级上册）在课本例1的教学之后，提出问题：

下列计算正确吗？为什么？

（1）3a+4b=7ab；（2）8y-y=7；

（3）2b3+b3=3b6；（4）-2x2y+xy2=-x2y.

本例是学生学习整式运算初期最易出现的错误，与数的运算规则不同，整式运算有自身特有的规则，通过对本例中“似是而非”问题的辨析讨论，可以帮助学生进一步理解合并同类项法则，理清整式运算与有理数运算的差别，有效提高学生的运算技能.

例6“4.1平方根（第2课时）”（八年级上册）在课本例3的教学之后，提出问题：下列计算正确吗？为什么？

本例中，求一个数的平方根或算术平方根，虽然它是实数运算的一部分，但它与有理数的加减乘除运算有着较大的差异.因此在此处设置“似是而非”问题，可以以错防错，提高学生对求算术平方根运算中的一些常见错误的认识，也利于学生辨别求一个数的平方根与一个数的算术平方根的差异.

四、分类思考，查漏补缺

数的分类、式的分类、角的分类、三角形的分类等，这些都是贯穿于初中学段的重要内容，另外，还有许多数学问题的解决也需要分不同情况讨论，面对这些问题，学生极易出现考虑不周的情形.而通过在一些分类点上设置数学“似是而非”问题，可以启发引导学生进行辨析讨论，增加学生处理这些问题的经验，提高学生的分类意识和能力，帮助学生全面地思考问题.

例7“9.5多项式的因式分解（第3课时）”（七年级下册）（1）在课本例6的教学之后，提出问题：

请给多项式4x2+1加上一个单项式后，使其成为一个整式的完全平方.

（2）针对学生中写出部分答案的情况，提出问题：只有这几种情况吗？如何思考这一问题？

本例的求解中，最易想到的是加上单项式4x或-4x，可以得到完全平方式（2x+1）2或（2x-1）2.然而本例实际上还有其他答案，这里涉及对“一个整式的完全平方”的分类认识问题：这个整式是单项式还是三项式？这个单项式或多项式的次数是多少？所以给多项式4x2+1加上的一个单项式还可以是-1、-4x2、4x4.

例8“2.5直线与圆的位置关系（第3课时）”（九年级上册）（1）在课本例4的教学之后，提出问题：

图3　

如图3，形如量角器的半圆O的直径DE= 12cm，形如三角板的△ABC中，∠ACB= 90°，∠ABC=30°，BC= 12cm.半圆O以2cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点D、E始终在直线BC上.设运动时间为t（s），当t=0s时，半圆O在△ABC的左侧，OC=8cm.当t为何值时，△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切？

（2）在学生得出一种或二种情况后，提出问题：

还有其他情况吗？如何做到不重复、不遗漏地解决这个问题？

本例是在教学中而生成的“似是而非”问题，渗透了图形分类的方法，这里可将△ABC的边拆分，那么半圆O在运动中，它所在的圆与AC所在的直线相切有两种情形；与AB所在的直线相切也有两种情形；与BC所在的直线始终相交，因此一共可得四种情形.

总之，数学“似是而非”问题由于源于学生，因此能有效激发学生的探究兴趣，促进学生正确理解数学知识.设计好数学“似是而非”问题，对改善教学方式，培养学生的批判性思维，提高学生的数学素养具有重要意义.