多角度“对应”：函数的教学追求*——李庾南老师“方程组图像解法”课例赏析

☉江苏省南通市通州区育才中学　仲立中

多角度“对应”：函数的教学追求*——李庾南老师“方程组图像解法”课例赏析

☉江苏省南通市通州区育才中学仲立中

近两年来，《中学数学》（下）刊载了多篇著名特级教师李庾南老师的课例研究文章，笔者受益其中，特别是李老师“学材再建构”的教学理念，深深影响着笔者的备课理念.笔者尝试从“教教材”走向“自己理解教材而去教”的专业追求.最近，有机会找来李老师执教的“二元一次方程组的图像解法”的教学录像，认真研习之余，整理成文，供更多同行学习.

一、“二元一次方程组的图像解法”教学概述

（一）教学目标

（1）创设情境，激发学生自主运用已有知识经验建立一次函数与二元一次方程两者之间的对应关系.

（2）引导学生从“数”的角度和“形”的角度来认识一次函数与解二元一次方程组的联系，会用图像法解二元一次方程组.

（3）引导学生通过实践活动，“数”“形”结合，概括二元一次方程组的解的情况（三种）.

（二）教学过程

教学环节（一）：开课阶段，探索一次函数与二元一次方程（组）两者之间的对应关系.

教学活动：先由学生独立思考，再安排全班交流讨论.教师侧重从不同角度引导学生理解.

方法1：从“形”的角度考虑，一次函数的图像是直线，一次函数y=kx+b又叫作直线y=kx+b.过点（0，-1）和）作直线y=2x-1，过点）和）作直线如图1，两直线交于点P（1，1），则x=1时，两函数的值相等，函数值为1.

图1　

方法2：从“数”的角度考虑，两个一次函数的解析式就是两个关于x和y的二元一次方程，解由这两个方程组成的方程组

则当x=1时，两个一次函数的值相等，函数值为1.

教学环节（二）：讲解“对应”背后的原理.

教师互动式讲解.

（1）一次函数的解析式y=kx+b可以写成二元一次方程kx-y+b=0的形式，反过来，任何一个二元一次方程kxy+b=0也可以写成一次函数y=kx+b的形式.（边总结，边形成如下的板书）

一次函数与二元一次方程存在对应关系

（2）一次函数图像的点的坐标都反映两个变量之间的对应关系，即适合函数的解析式，因此也是对应的二元一次方程的解.

（3）一次函数对应一条直线，所以一个二元一次方程就对应一条直线，两个二元一次方程就对应两个一次函数，因此也就对应两条直线.两条直线的交点坐标满足两个函数的解析式，也就是满足两个二元一次方程，即为由这两个二元一次方程组成的方程组的解.

（4）根据一次函数与二元一次方程组之间的这种联系，可用一次函数的图像解二元一次方程组——二元一次方程组的图像解法.

教学环节（三）：例讲示范，利用一次函数的图像解二元一次方程组.

图2　

两直线的交点为M（-3，-3）.

跟进练习：用图像法解方程组.（题目略）

教学环节（四）：从“数”和“形”的角度讨论二元一次方程组解的情况.

一个交点…………………………………一解

图3　

无交点……………………………………无解

图4　

重合………………………………………无数解

教师总结：同一平面直角坐标系中，两个一次函数的图像位置关系有三种，对应的二元一次方程组的解有三种情况；二元一次方程组的解与对应项系数有关.

教学环节（五）：师生合作，通过课堂总结加深对本课内容的深刻理解.

图像法求二元一次方程组解的特点.

由b和k很快确定二元一次方程解的情况.

由交点位置可判断解的符号，但解为非整数时，不易写出精确值.

二、课例赏析

熟悉李老师数学课例的同行应该知道，近年来李老师基于“学材再建构”的教学思想，往往以数学味极浓的数学现实引入新课，本课例也是这样，李老师基于一次函数值相等与直线之间的对应关系引入新课.以下就围绕“对应”的视角进一步给出四点赏析.

“对应”角度之一：两个函数值相等与两条直线交点坐标之间的关系

开课阶段，李老师提出两个一次函数的函数值相等问题，引导学生独立思考后全班交流讨论，然后李老师侧重从不同角度引导学生理解函数值相等与直线交点坐标之间的关系.特别是从“形”的角度，通过函数图像交点坐标与自变量、函数值之间的对应，让学生既有直观感知，又有数学上的精确运算相对应.

“对应”角度之二：一元一次函数与二元一次方程之间的对应关系

在学生从数、形的角度感知之后，李老师进行互动式讲解，重点讲授了一次函数与二元一次方程之间的对应关系，特别是精心设计的板书，通过箭头示意，让学生感受到二元一次方程与一次函数表达式之间的正反变形关系.感受到它们在本质上是一致的、和谐的.

“对应”角度之三：方程组的消元解法与一次函数图像解法之间的对应关系

在例题示范教学阶段，李老师亲自板书示范了二元一次方程组图像解法的规范格式，而不是用PPT快速翻过.学生可以在这个过程中，感受到此前已会的方程组消元解法是从运算的角度求解，而现在又多了“形”的方法，即图像解法.虽然图像解法对于这类二元一次方程组的求解并不一定是最优化的方法，但是追求问题的殊途同归是数学教学上需要渗透的，也是让学生感受同一问题在不同数学概念、工具、模型下的不同解法路径，都可以获得解决，感受数学不同知识领域的相融、和谐与一致.

“对应”角度之四：方程组解的情况与两直线交点的对应关系

我们知道教材上一般都没有给出二元一次方程组的一般形式，也就没有展开对二元一次方程组的解的情况的讨论.而在李老师这节课中，我们看到在“教学环节（四）”中，李老师不但从二元一次方程各项系数的角度分三种情况进行讨论，并将这三种情况所对应的两条直线在同一坐标系下的位置关系进行了对应，促进了学生对数形结合思想的理解.更重要的是，这样处理，使学生在学习研究二次函数图像（抛物线）与x轴的交点情况时，可以对应到一元二次方程的根的判别式（Δ）的取值.这种追求前后一致、渗透研究套路的教学，对于高层次学生是十分有益的.我们常常说的教学深度，由专家教师的这些教学细节中也可见一斑.

1.李庾南.自学·议论·引导教学论［M］.北京：人民教育出版社，2013.

2.钟启泉.新旧教学的分水岭［J］.基础教育课程（上），2014（2）.

3.章建跃.构建逻辑连贯的学习过程使学生学会思考［J］.数学通报，2013（6）.

4.李庾南，陈育彬.中学数学新课程教学设计30例——学力是这样发展的［M］.北京：人民教育出版社，2007.Z

*本文系南通市教育科学“十一五”规划重点课题“基于悟学理念的初中理科‘高效作业’实施策略研究”的阶段性成果.