源自生活高于生活，创新练习促进互动——以平面直角坐标系起始课教学为例

☉江苏省连云港市罗阳中学　徐进友

源自生活高于生活，创新练习促进互动——以平面直角坐标系起始课教学为例

☉江苏省连云港市罗阳中学徐进友

新的数学概念或数学领域初步接触时，不少教材上往往安排大量丰富的生活现实，意图从生活情境中抽象、分离出新的概念，然而这些生活现实或在小学阶段已反复出现，也有时与学生离得很远，难以引发共鸣，有些甚至不能体现新概念的本质特征，这时如果过分依赖教材，大量采用生活现实，往往教学效果低下，使得学生在较低层次上徘徊，没有及时带领学生向上挑战，也不符合“开门见山”的教学取向.笔者近期在执教一节“平面直角坐标系”起始课公开课前，认真研习了《中学数学》（下）2016年9月的《“生活味”淡一点，“数学味”重一些》（详见文1），受益非浅.于是笔者也从生活现实出发，迅速离开现实情境，定义新工具，进行了丰富多样的训练，也使得课堂教学走向开放，取得较好的教学效果.本文梳理该课的教学实录，并跟进阐释教学立意，供研讨.

一、平面直角坐标系起始课教学设计

（一）理解教学内容

从数学内部发展的历史来看，平面直角坐标系是为了研究函数图像的需要，定义出来的一种工具，与学生在刚进初中时接触的数轴有关，本质上是由两条数轴垂直相交（垂足为原点）而成.将原来“一维”的研究推广到“二维”的平面.不同的初中教材都是将平面直角坐标系引入之后再学习函数及其图像.作为起始课，不少教材上都是安排一个课时的所谓生活现实或情境，用来定义有序数对.而就笔者所知，小学阶段关于有序数对在生活情境中的体现已非常丰富，到了初中如果还停留在这个层面，显然是把学生“留在美好童年”.基于这样的认识，我们重组了教材，设计出如下的教学目标.

目标1：通过具体实例，理解有序数对的概念和意义，会利用有序数对表示实际生活中具体物体的位置.初步掌握平面直角坐标系及相关概念；能由坐标描点，由点写出坐标.

目标2：经历有序数对、平面直角坐标系等概念的形成过程，体会类比、数形结合等思想方法.

教学重点：有序数对、平面直角坐标系.

教学难点：理解平面内点与坐标的对应关系.

（二）教学流程设计

1.开课阶段，创设情境，引入新课

同学们，在国庆60周年的庆典活动中，天安门广场上出现了壮观的背景图案，你知道它是怎么组成的吗？通过本章的学习，你一定会明白其中的道理的.

2.探究有序数对

教学活动：复习数轴的相关知识，提出如何确定平面内的点的位置，通过实例探究得出有序数对.

预设互动：安排举出生活实例.

预设练习：画出路线：如图1，甲从（4，2）的位置出发，按（4，2）→（2，2）→（2，6）→（5，6）→（5，1）→（8，1）→（8，4）→（2，4）的路线行走，请你在图中画出这条路线.

图1　

设计意图：这类问题学生在小学练习过，这里再以网格线的形式出现，一是复习，二是为接下来定义平面直角坐标系的坐标作铺垫.

3.学习新知，定义平面直角坐标系

提出问题：数轴上的点可以用一个数来表示，如何表示平面内的点的位置？

预设：引导学生再画一条数轴.指出表示位置的方法就是建立平面直角坐标系，这是当年大数学家笛卡儿发现的.并以PPT展示方式快速介绍相关数学史，让学生感受到数学的源远流长.

预设活动：自学书本，如何建立平面直角坐标系.

预设互动：请学生介绍平面直角坐标系的定义、各部分名称，并在图中标出x轴（横轴）、y轴（纵轴）、原点、各个象限.

预设活动：请你画一个平面直角坐标系.

预设互动：学生小组间相互评判，老师再组织全班交流展示，并强调细节之处.

4.深入探究坐标与点的关系

教学活动：先安排学生由点写坐标，即由形到数的对应.写好之后，预设如下交流活动.

（1）请学生交流如何写已知点的坐标.

（2）相互出题写坐标，再相互纠错.

（3）提问：一个点的坐标有几个？为什么？（只有一个，因为过一点有且只有一条直线与已知直线垂直）

接着安排学生由坐标描点，即由数到形的对应.然后安排如下的交流活动.

（1）交流如何由坐标描点，请举例说说.

（2）在你画的坐标系中，描出下列各点，并顺次连接，绘制出图案.

（1，3），（1，1），（0，0），（0，-2），（1，-3），（-3，-3），（-2，-2），（-2，0），（-3，1），（-3，3），（1，3）.

点（1，-3）和点（-3，1）表示同一个点吗？说明什么？

追问：每一个坐标对应几个点？你能用学过的知识解释吗？（两条直线相交，有且只有一个交点）

5.小结概括，预设小结问题

（1）通过刚才的研究，你发现坐标平面上的点与有序数对有什么关系？

（2）各个象限和坐标轴上的坐标有什么特征？

（3）回顾本节课的学习内容，你认为必须掌握哪些知识和技能？还有哪些问题需要讨论？

6.反馈练习，拓展提升

以某一同学为坐标原点，所在行为x轴，所在列为y轴，相邻两人的距离为单位1，建立平面直角坐标系，思考自己所在点的坐标.符合下列条件的起立，比一比谁的反应快.

（1）坐标为（1，2）和（2，1）的点；

（2）横坐标为0的点；

（3）横坐标为正数、纵坐标为负数的点；

（4）横坐标和纵坐标相等的点.

预设意图：通过练习巩固了有序数对和坐标特征，同时解释国庆时鲜花方阵的形成原理，学以致用.华罗庚说“数缺形时少直觉，形缺数时难入微.”数形结合的思想方法今后我们会经常用到，平面直角坐标系是图形与数量之间的桥梁，有了它我们解决数学问题的能力一定又有长进.

二、教学立意的进一步解读

1.生活现实引入，但不宜过分依赖

平面直角坐标系的新课引入，在各大教材上多是用生活情境引入，这是可以的.然而实际教学中，不宜过分依赖生活情境，也就是说，可以由生活情境出发，但迅速通过，引入平面直角坐标系概念的定义.如果过分依赖生活现实，也许课堂氛围是热烈的，学生是活泼的，但是学生的认识与思考却停留在小学阶段的有序数对的认识上，这与初中学段的要求是相悖的.

2.定义坐标系，引导理解新概念

在定义平面直角坐标系之后，要引导学生从数轴的角度反复理解和体会新概念、新工具.在本质上说，平面直角坐标系就是两条数轴组合而成，反映着数形结合，是研究二维平面上点与数对之间对应关系的重要工具.接着训练时围绕概念选取或设计简单的体现数形结合的习题，让所有学生都能理解新概念，并知道平面直角坐标系与数轴之间的关系.特别是初始训练阶段，例、习题一定要简单，体现新概念本质.

3.渗透数学史，感受数学文化魅力

在训练学生初步理解新概念之后，要适度引入反映本节内容的数学史话，采用PPT展示的方式快速切换，让学生感受到数学文化魅力，知道现在看来很简单的一个数学概念，如平面直角坐标系这样的工具，在漫长的人类文明进程中，也经过很多数学家的发现、发明、完善与优化.文明需要传承，一个坐标系也可见其一斑.

4.创新训练形式，促进互动展示

就本节课的训练习题来看，呈现形式丰富多样，不仅有简单的针对新概念的训练试题，更有很多开放问题，如安排学生互动式提问、互相解答、答辩展示等训练形式，同时也使得课堂教学走向了开放.使得学生之间的对话、互动成为可能，也是追求了日本著名教育学者佐滕学所谓的从“相互说”走向“相互学”.

三、结束语

起始课教学在人大复印资料《初中数学教与学》近期曾有专题关注，很多老师基于教学内容前后一致、逻辑连贯，构思了精彩的教学设计，笔者注意到，其中的共性是单元教学、教材重组，使得过去的“教教材”走向了“用教材教”.这当中不仅是理念问题，更关于理念如何落地.我们基于“理解数学”的认识，对平面直角坐标系起始课进行了内容重组与练习创新设计，实践还是初步的，期待批评与打磨意见.

1.邱晓敏.“生活味”淡一点，“数学味”重一些——“平面直角坐标系”起始课的评课与商榷［J］.中学数学（下），2016（9）.

2.钟启泉.新旧教学的分水岭［J］.基础教育课程（上），2014（2）.

3.李庾南.自学·议论·引导教学论［M］.北京：人民教育出版社，2013.

4.郑毓信.“开放的数学教学”新探［J］.中学数学月刊，2007（7）.Z