经营转场：折纸串起平行四边形起始课教学*

☉江苏省海安县城南实验中学　刘东升☉江苏教育报刊总社沈红艳

经营转场：折纸串起平行四边形起始课教学*

☉江苏省海安县城南实验中学刘东升
☉江苏教育报刊总社沈红艳

最近，南通市教科研中心组织了全市初中数学赛课活动，赛课课题是平行四边形起始课.本文作者有幸观摩了多位教师的赛课，并在课后与不少参赛教师进行了交流，多数选手忠实于教材上的情境设计（从生活中的平行四边形图片引入新课），并按部就班地定义平行四边形，再带领学生观察、度量、猜想、证明出对边相等、对角相等，然后是例题讲评、练习应用，最后链接讲解两条平行线之间的距离.应该承认，上述教学流程是合理的，教学效果也是有效的.然而，教学既是科学，也是艺术，为了达到各个教学环节之间的无缝对接、自然过渡，追求更好的转场效果，我们给出由折纸活动串起的平行四边形起始课教学设计，并对教学立意作出相关解读，供研讨.

一、平行四边形起始课的教学设计

（一）教学目标

（1）探究并证明平行四边形的性质（对边相等、对角相等），并能运用上述性质解决平行四边形中简单的边、角求值问题.

（2）会用定义证明一个四边形为平行四边形.

（3）理解平行线之间的距离，并能利用平行四边形的定义、性质解释对平行线之间距离的理解.

（4）在折纸操作到问题变式思考中，感受从具体到抽象、从特殊到一般的数学思想方法.

（二）教学重点、难点

重点：探究并证明平行四边形的性质（对边相等、对角相等）.

难点：灵活运用平行四边形的定义、性质证明平行线间距离处处相等.

（三）教学流程

平行四边形起始课教学流程图

（四）教学过程

1.折纸活动，引入新课

师：同学们，前面我们已学习了三角形、特殊三角形（如等腰三角形、直角三角形）的一些知识，并且知道一般四边形的性质，今天开始我们学习一类特殊的四边形.（拿出一张A4纸）

问：这是一个什么四边形？（预设学生回答：长方形或矩形）

学生在老师示范下开始折纸，折纸示意图如图所示.（经过图1的折法得到图2）

图1　

图2　

问：图2是一个什么四边形？（预设学生回答：平行四边形）那开始的A4纸也是平行四边形吗？（预设学生回答：也是，但更特殊）

师：那今天我们就开始学习平行四边形.（板书：平行四边形）从前面研究图形的经验看，我们要从哪些方面开始研究呢？（预设学生回答：研究平行四边形的定义、性质，还有判定等）

师生合作给出平行四边形的定义、符号表示，形成板书.

2.性质探究，开放应用

师（拿着折出的平行四边形）：同学们看这个平行四边形，大家觉得从哪些角度来研究它的性质呢？（预设学生回答：边、角、对角线等）

由学生猜想或度量发现后，板书“猜想”（这两个字在后续证明之后擦去，改为“性质”）：平行四边形的对边相等、对角相等.

师：跟以前学习一样，现在我们来证明上面两个猜想，这两个文字命题该怎样证明呢？（预设学生回答：画图、已知、求证、证明）

如图3，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC.

求证：AB=CD，AD=BC，∠A=∠C，∠B=∠D.

证明：连接AC……（限于篇幅略）

图3　

证明之后，板书性质的符号语言，接下来出示一组开放题，训练平行四边形对边相等、对角相等.

例1如图3，▱ABCD中，

（1）当∠ABC=60°时，求_______；

（2）若AB=3cm，BC=6cm，求______.

教学预设：安排学生自己设计一个问题，同座、小组内分别交流后，再全班交流展示各组设计的问题，借这个活动训练学生对平行四边形对边相等、对角相等的理解.

3.回到折纸，引出“距离”

师：开课期间，我们曾折出一个平行四边形，现在再让我们看看折纸过程中的这个图形（再次演示），稍加改编，可以出一道几何题，PPT呈现例2.

例2如图4，在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E、F.求证DE=BF.

图4　

教学预设：学生容易想出利用▱ABCD的性质得出∠A=∠C，AD=CB，再证△ADE≌△CBF得出DE=BF.这种思路贯通后，追问学生有没有其他思路？（预设学生能想到证明四边形DEBF也是平行四边形，从而得出DE= BF.如果学生想不到这种思路，可以引导“有人发现图4中还有一个平行四边形，你能找到吗？”）

在不同证明思路之后，引导学生从距离的概念来反思图4.

追问1：“线段DE、BF的长可以看成哪种“距离”呢？（预设学生回答：DE的长可以看成是点D到AB的距离；BF的长可以看成是点B到CD的距离）这两个距离相等吗？

追问2：如图5，在CD边上取一点M，作MN⊥AB于N，则MN=DE？类似地，PH=BF？（安排学生讲解成立的依据：利用平行四边形DENM的性质得出MN=DE）

图5　

教师讲解：距离是几何中的重要度量之一.前面我们已经学习了点与点之间的距离、点到直线的距离.在此基础上，我们还可介绍两条平行线之间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫作这两条平行线之间的距离.

4.师生小结，当堂检测

问题1：今天学习了哪些内容？这些内容与小学有何区别？

问题2：平行四边形中还有一种重要线段：对角线.这节课学习时间有限，同学们课后可以继续思考：平行四边形有几条对角线？它们有什么关系？

问题3：学了平行四边形的性质之后，还要学习它的判定，而我们今天在解决有关问题时，就已用了定义判定，后面还会系统研究平行四边形的判定方法，有兴趣的同学也可提前思考.

当堂检测题：两张纸条交叉叠放问题（共5个小问，每问20分，答题时间6分钟）.

如图6，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合的部分构成了一个四边形.转动其中一张纸条，设重合部分为四边形ABCD.

图6　

（1）有同学指出：四边形ABCD一定是平行四边形，你觉得理由是什么？

（2）求证：AD=BC；

（3）当∠ABC=130°时，求四边形ABCD的其他三个内角度数；

（4）点A到BC的距离是5cm时，点C到AD的距离是多少？

（5）如果两张纸条是等宽的，你觉得四边形ABCD还有哪些特殊的性质呢？（只要答出一个即可）

设计意图：第（1）问检测学生对平行四边形定义的理解；第（2）问检测学生对平行四边形对边相等的理解；第（3）问检测学生对平行四边形对角相等的理解；第（4）问训练学生对平行线间距离的认识；第（5）问发散出去，让优秀学生挑战一下以后要学习的特殊平行四边形——菱形的四边都相等.

（五）板书设计

图7　

二、教学立意的进一步阐释

上面本着教学研讨的兴趣，展示了我们对平行四边形起始课的教学设计，并对各个教学环节给出了操作性建议，以下再从整体上就该设计的教学立意给出进一步的阐释.

1.构思折纸活动，经营转场效果

文学、影视作品常常需要经营所谓的“转场”，比如在两个场景（即两段素材）之间，采用一定的技巧实现场景或情节之间的平滑过渡，追求较好的转场效果.从上面的教学设计可见，折纸活动贯穿整节课的不同教学环节，开课时以折纸引出平行四边形的定义，活动2让学生观察度量折出的平行四边形对边、对角的数量关系，活动3在所折纸片中研究两条垂线段的数量关系，活动4中又以两张纸条叠合在一起为情境设计一道课堂检测试题.可以说，如此的构思回环往复、瞻前顾后，追求了很好的转场效果.

2.辨识学段特征，把握教学重点

新世纪以来，由于所谓“新课程”理念突出了“生活现实”，随之数学教材一个显著变化就是几乎在所有能找到生活应用的数学内容前都增加了所谓的“生活情境”，这种现象已经在《义务教育数学课程标准（2011年版）》中得到纠偏，比如要重视“生活现实”，也要重视“数学现实”，还要兼顾“其他学科现实”等.这当然也是我们放弃教材上的平行四边形的情境图片引入新课的一个依据，更为重要的是，反复或大量使用生活现实图片，往往是一种学段辨别不清的表现，因为，在初中学段学习平行四边形，其重点应该是如何定义平行四边形、猜想并证明平行四边形的性质.

3.注重变式追问，追求开放教学

众所周知，变式教学是我国数学“双基”教学的重要组成部分.然而变式教学如何在课堂中得到充分贯彻执行，我们仍然有很多工作要做.突出的表现是，不少初任教师对变式教学还只是停留在习题的低层次变式，甚至就是我们在一些学案中所见到的对同一知识点拼凑题组进行训练形式，而对概念变式、教学过程中的变式还缺少专业深入.以上面提供的教学设计来看，除了“当堂检测”提供的题组体现了变式设问追求之外，在“例题2”的教学中，在学生从全等的角度贯通思路、实现证明之后，我们预设了“追问”，让学生利用定义证明▱BFDE，再利用▱BFDE的性质得出DE=BF，这就可看成是一次解题过程中的变式追求；进一步通过“追问1”“追问2”将问题变式过渡、引出“平行线之间的距离”这一重要概念.此外，我们还可提及郑毓信教授指出的“从开放题到开放的数学教学”，在本课教学中，“活动2”平行四边形的性质证明之后，安排了例1，这是一道开放式问题，由学生自己提出问题、互相解答，用开放题的形式追求开放的数学教学；在性质探究环节，如果学生提及平行四边形的对角线性质，则在板书上写出“对角线”（见板书设计），限于教学时间本课暂不深究；本课最后的当堂检测题的最后一问是“如果两张平行纸条是等宽的，你觉得四边形ABCD还有哪些特殊的性质呢？”这是一道开放式问题，同时又是一个可供后续生长式的问题“潜伏”，因为学生即将学到一类特殊的平行四边形：菱形.

4.探究渐次展开，渗透思想方法

本课从折出一个平行四边形引入新课，抽象出平行四边形，给出定义和符号表示，又在“活动3”中对折纸中的两条垂线段进行进一步研究，这些都体现了“从具体到抽象”的数学思想.在“例题2”教学的“追问2”环节，我们任意取点M、P，体现了从特殊点（点E、B）到任意一点的特殊到一般的思想方法，而这样的思想方法在教学过程中并不需要贴出所谓的标签，只是以一种十分内隐的方式使学生体会、感悟、默会.想来，数学思想方法的教学如何更加务实，让更多的学生感悟思想、学会方法，掌握研究数学问题的“基本套路”（章建跃语），这些都是需要在教学预设过程中充分预设、苦心经营的.

1.张诚，张成品.经营“转场”：让教学环节过渡自然——《中学数学》（下）2015年1~3月读刊随笔［J］.中学数学（下），2015（5）.

2.刘东升.辨别学段特征：初中几何教学的用力点——以“圆（第1课时）”教学为例［J］.中学数学教学参考（中），2015（3）.

3.中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

4.郑毓信.“开放的数学教学”新探［J］.中学数学月刊，2007（7）.

5.章建跃.构建逻辑连贯的学习过程使学生学会思考［J］.数学通报，2013，56（6）.Z

本文为江苏省教育科学规划“十二·五”规划重点资助课题“李庾南研究”（课题编号：B-a/2011/02/052），主持人为祁国斌。