“1”的加减乘除

☉湖北省枣阳市第一中学 陈刚明

“1”在高中数学的不同章节中有着不同的等量代换形式，灵活使用“1”的加减乘除运算能够使高中数学中的相关运算达到“柳暗花明又一村”的效果.现举例说明：

一、“1”的加法

例1计算的值.

解：原式

例2求的值.

解：

以上两个例子均采用的方法是在所求式子的首项前加“1”，配凑后使用相关性质进行计算.

二、“1”的减法

例3（2013年新课标全国2理）设a=log36，b=log510，c=log714，则（ ）.

解析：本例中要比较的三个数都形如“loga2a”，由对数函数的性质loga2a=loga2+logaa=loga2+1可知，把每个数都减去“1”，还得“庐山真面目”，即a=log36=1+log32，b=log510=1+log52，c=log714=1+log72，则只要比较log32，log52，log72的大小即可.在同一直角坐标系下作出函数图像，由三个函数图像的相对位置关系，可知a＞b＞c，故选D.

例4在数列{an}中，当n≥2，n∈N*时，an=2an-1-1，且a1=2，求数列{an}的通项公式.

解：由an=2an-1-1可得，an-1=2（an-1-1），

所以{an-1}构成以a1-1为首项，2为公比的等比数列.

所以an-1=1·2n-1=2n-1.

所以an=2n-1+1.

点评：本例中在原等式的两边同时减去“1”，把递推数列化归为等比数列，进而求出数列{an}的通项公式.

三、“1”的乘法

例5已知x，y＞0且x+2y=1，求的最小值.

解：因为x+2y=1，

例6已知f（x）是定义在［-1，1］上的奇函数，若m，n∈［-1，1］，m+n≠0时，有，证明：（fx）在［-1，1］上是增函数.

证明：任取-1≤x1＜x2≤1，则

因为-1≤x1＜x2≤1，所以x1+x2≠0.

所以f（x）在［-1，1］上是增函数.

例7求函数的值域.

解：函数的定义域为［0，+∞），

四、“1”的除法

例8已知tanα=2，求sinαcosα+sin2α的值.

解 ：

点评：本例中把sinαcosα+sin2α除以sin2α+cos2α=1转化为齐次式，分子分母再同时除以cos2α，使得问题得解.

例9函数f（x）的图像如图1所示，下列数值排序正确的是（ ）.

图1

解：f′（2），f′（3）分别是x为2，3时图像上对应点处的切线斜率，因为，所以（f3）-（f2）是图像上x分别为2和3时所对应的两点连线的斜率，故选B.

点评：本例中把f（3）-f（2）除以3-2=1，使得f（3）-f（2）具有明确的几何意义（两点连线的斜率），然后从几何图象就可以判断出它们的大小关系.