简单中发现，深刻中探究——以“菱形（第一课时）”教学为例

☉浙江师范大学附属杭州笕桥实验中学　路亚飞　刘梦蕾☉浙江师范大学教师教育学院朱哲

简单中发现，深刻中探究——以“菱形（第一课时）”教学为例

☉浙江师范大学附属杭州笕桥实验中学路亚飞刘梦蕾
☉浙江师范大学教师教育学院朱哲

探究式教学可以看作是一种简化的科研活动，它为学生提供一个自主探究的学习环境，并根据学生个别差异提供相应的指导.探究式教学模式中教师不直接把教学目标、学习路径等相关内容告知学生，而是由学生自主进行探究新知，促进学生深化知识内在联系的理解、探究能力及创新能力等多方面能力的提高.创新能力与实践能力的培养是现阶段基础教育的重点，也是素质教育的核心内容，探究式教学模式的引入，能够有效改革传统教学，真正落实新课改.

一、熟知背景，确定目标

本节课教材选自浙教版初中数学八年级下册第五章第二节“菱形”，之前学生已学习了平行四边形的定义、性质和判定.菱形是学生学习了矩形之后的另一个特殊平行四边形，本节课主要探究菱形的定义与性质.菱形属于初中数学几何模块的中间过渡部分，它是三角形和四边形知识模块的外延，同时为正方形、圆及立体图形等知识的学习做铺垫.本节课教学设计通过让学生动手操作、细心观察、大胆猜测，最后借助已学知识进行验证猜想，从而培养学生动手操作能力、演绎推理能力及逻辑思维能力等，为以后的数学学习奠定基础.

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标》）指出图形与几何部分教学目标是让学生经历图形抽象、性质探究等过程，在参与操作、观察、猜想、论证等数学活动中发展演绎推理能力，能够获得解决问题的基本方法，体会方法多样性，提高对数学知识的探究欲，发展创新意识.基于《课标》对于几何部分教学目标的分析，本节课确定以下三维教学目标：（1）知识与技能：经历菱形性质的探究过程，掌握菱形两个基本性质，并能够运用性质解决问题；（2）过程与方法：经历菱形性质的探究过程，培养学生的动手操作、探究推理能力；通过对菱形性质进行证明，培养学生的逻辑思维能力；（3）情感态度与价值观：菱形性质的探究过程中获得成功的体验，提高对数学的求知欲、探究欲及学习兴趣；运用菱形性质解决问题，克服困难，建立自信心；体会菱形的图形美，感受数学知识与现实生活的密切联系.

二、自主研学，新知探究

图形、窗花、墙纸等精美匀称的菱形图案是菱形传统教学中标准导入，本次教学导入突破传统，利用精简教具小纸片辅助教学，设置教学活动，引导学生自主探究菱形的基本性质.

活动：请同学们将桌子上两张相同的矩形纸片（课前准备）交叉重叠放置（如图1、图2），请问从你的两个纸片交叉重叠的四边形中发现了怎样的特殊四边形？你能证明你的猜想吗？

图1　

图2　

分析：本次探究活动的教具比较简单（纸片），教师和学生容易获取，利于探究活动的进行.两个纸片交叉重叠的情况较多，随着交叉角度与位置的变化，重叠部分的形状会各有不同.为了引导学生进行有效的探究，教师对探究活动设定了一些限制，例如活动中要求重叠部分的形状为四边形，这样重叠形状只存在图1与图2的两种情况.图1中的重叠四边形比较容易发现和证明是正方形，对于图2中的重叠四边形，学生容易发现它是一个平行四边形，因为矩形纸片的对边相互平行，但研究的深度还不够，需要发现它是一个特殊的平行四边形（即菱形）.前一节学生刚刚学习了一个特殊平行四边形（即矩形），矩形是从角的特殊性（即直角）研究平行四边形，学生通过猜想或预习容易想到本次探究将从边的特殊性研究平行四边形.对于边的特殊性，能猜想到的只有边相等，然而平行四边形的对边平行且相等，留下的方向只有邻边相等，即这节课所探究的特殊平行四边形——菱形，即定义为一组邻边相等的平行四边形.

接下来就是证明猜想，对于已知条件，我们首先知道该四边形是一个平行四边形，其次两个矩形的宽是相等的，需要证明平行四边形的邻边相等，如图3，已知：平行四边形ABCD，两矩形宽相等，求证：AB=AD.证明的方法较多，下面介绍一个较为简单且学生容易想到的证明方法，首先由矩形等宽可知，平行四边形ABCD的两条高相等，即AE=AF（如图3），再由平行四边形面积法可知AE·BC=AF·CD，所以BC=CD，即AB=AD，具体证明过程如下.

证明：如图3，作辅助线AE、AF，使AE垂直于BC且交BC于点E，AF垂直于CD且交CD于点F，由于两矩形等宽，则AE=AF.

又平行四边形的面积S=AE· BC，S=AF·CD，所以AE·BC=AF· CD，所以BC=CD.

又四边形ABCD为平行四边形，所以AB=CD、AD= BC，所以AB=AD.

图3　

三、类比迁移，归纳性质

探究菱形的性质从复习平行四边形和矩形的定义、性质出发，学生先前刚刚学习了一个特殊平行四边形——矩形，对于另一个特殊平行四边形性质的探究可参照矩形性质探究的方式进行对比研究，通过类比学习菱形性质.教师首先带领学生回顾平行四边形和矩形的定义、基本性质，以及研究平行四边形与矩形的基本方法，即从边、角、对角线、对称性和特殊三角形五个方面探究菱形的基本性质，并同时列出平行四边形和矩形的基本性质进行对比（如表1），有助于加深学生对特殊四边形的理解和区分.

表1　平行四边形、矩形、菱形性质

根据菱形的定义可证明出菱形的基本性质：菱形的四条边都相等；菱形的对角线相互垂直，且每一条对角线平分一组对角.教师引导学生从菱形的定义出发，即邻边相等的平行四边形，把菱形的基本性质作为结论进行证明，由于证明难度不大，教师可提问学生讲解多种不同的证明方法，无须严格写出证明过程，故菱形性质证明过程省略.

四、变式拓展，灵活应用

数学运算能力、空间想象能力与逻辑思维能力被认为是数学能力结构中的三大基本能力，同时被人们接受.数学应用能力作为数学能力机构中的重要组成部分，是建立在三大基本数学能力的基础之上，且缺乏一定的数学学科特点的综合性数学能力.［1］《课标》中也明确指出数学教学中应注重培养学生的应用创新意识，提高学生的问题解决能力及实践应用能力.以下将结合应用问题，帮助学生巩固菱形基本性质的应用.

图4　

问题1：如图4，两张矩形纸片叠放在一起，重叠部分为菱形ABCD，那么两张矩形纸片的宽度有什么数量关系？请说明理由.

分析1：问题1是菱形定义探究活动的逆向研究，问题设计为半开放性，能够有效提升学生的思维活跃度，避免传统问题解决的单一、枯燥及形式化等.由菱形定义的探究活动过渡到问题1，实质上是问题与结论的互换，学生对于两张矩形纸片宽度相等的猜想不存在难度，猜想的证明同样可用探究活动中的逆向思维进行证明.证明方法较多，以下列举三种最常用的证明方法（具体的证明过程省略）：（1）等积法，作菱形两条高AE、AF（如图4），通过菱形面积的两种计算方式，即S=AE·BC=AF·CD，同时利用菱形的基本性质四条边相等，即AB=BC=CD=AD，所以菱形的两条高相等，即AE=AF，可知两张矩形纸片宽度相等；（2）角平分线定理，连接对角线AC（如图4），由菱形的基本性质每条对角线平分一组对角可知AC为角平分线，由角平分线定理可知AE=AF，所以两张矩形纸片宽度相等；（3）三角形全等，由菱形基本性质可知AB= AD、∠ABC=∠ADC，又∠AEB=∠AFD=90°，所以△ABE≌△ADF，故AE=AF，所以两条矩形纸片宽度相等.

图5　

问题2：如图5，两张宽度相等的矩形纸片重叠在一起，其中较小的夹角为60°，宽AE=3cm，你能得出哪些结论？

分析2：本题设计为开放性问题，学生可找出较多的结论，且难度不一，比如菱形边长AB、△ACD为正三角形、对角线AC的长度及对角线BD的长度等（证明略），对于不同学习水平的学生都能够找出不同难度的结论，有助于提高学生的学习信心和兴趣.开放性试题答案的多样性，反映学生在解决问题时的不同数学体验，体现了学生的个体差异性，同时能够帮助教师了解学生的思维状态及数学思维水平.开放性试题的设置，有利于学生发散性思维和创造性思维的培养，促进学生主动构建知识体系，同时理解其中的数学思想方法，形成良好的认知结构和深刻的数学观，加强对数学知识内在联系与内在规律的认识，从而形成开放式的课堂教学模式，全面推进素质教育.［2］

图6　

问题3：如图6，两张宽度相等的矩形纸片重叠在一起形成的四边形ABCD，若P是对角线BD上的一个动点，连接PE、PC，求PE+PC的最小值.

分析3：本题是动点问题，主要考查的是菱形基本性质中的对角线平分一组对角，也是对学生所学知识的综合考查，相对于前部分的练习题，难度有所提升.动点最值试题属于初中数学中综合性较强的问题，是初中数学的重要组成部分，也是近些年各地中考的热点.这类试题的设置，全面考查学生的数学素养，培养学生的自主探究能力和创新思维意识，提高学生运用所学的数学知识解决实际问题的能力，促进数学思维能力的提高.

动点最值类试题解决的关键在于作出定点关于动点所在直线的对称点，或者动点关于动点所在直线的对称点.对于动点最值类试题的解决，抓住关键点，能够起到事半功倍的效果.根据上述分析，问题3的具体解决过程如下.

如图6，作点E关于对角线BD的对称点E1，连接C、E1交BD于点P1.

由四边形ABCD为菱形，可知对角线BD平分∠ADC.

又点E在线段CD上，所以E1在线段AD上.

又点P是E与E1对称轴上一动点，所以PE=PE1，所以PE+PC=PE1+PC.

又点P在对角线BD上运动，所以PE1+PC≥P1E1+P1C.

所以当点P运动到点P1的位置时，PE1+PC（即P1E1+ P1C）的值最小，即PE+PC的最小值为P1E1+P1C.

问题4：两张宽度相等的矩形纸片重叠在一起形成菱形，若矩形纸片的长是9cm，宽是3cm，那么菱形的周长是否存在最大值或最小值？如果存在，请求出；如果不存在，请简要说明理由.

分析4：最值问题是学生在积累了一定的几何与代数知识后的一类综合型试题，这类试题难度较大、解题的灵活性较强、综合知识运用能力要求较高，在数学中考试题中出现的频率在逐步提升，逐渐凸显出在初中数学中的重要地位.几何类的最值问题的解决，需要尽可能运用数学结合的思想，根据题设条件找出关系式，再结合图形进行分析.对于问题4，首先找出不变的量，即菱形ABCD的高AE=3cm（如图7），再确定菱形边长AD与菱形高AE的关系式，结合图形可知，当两张矩形纸片移动到两个顶点重合的位置时（如图7），边长AD的值最大为5cm，所以菱形ABCD周长的最大值为20cm（计算过程略）.

图7　

五、自我反思，回顾总结

教材是教学的基础和出发点，但并不意味着局限于教材进行教学.教师应充分挖掘教材的价值，结合对教材的理解，形成凸显教师智慧的教学设计.［3］本节课的教学设计以教材为基础，进行了突破性改进，比如新知探究过程、菱形性质的应用等方面，几乎脱离了教材.图形、窗花、墙纸等精美匀称的菱形图案是菱形传统教学中标准导入，本次教学设计打破传统，设计一个自主探究活动.

探究活动借助两张纸片交叉重叠，抽象出几何图形构造出菱形，并在此基础上进行菱形基本性质的探究及性质应用例题的设计，跨度小且贯穿整节课，凸显出课堂教学的整体性，有助于学生进行知识构建.其次，借鉴平行四边形与矩形性质的探究方式，对于菱形基本性质的探究难度不大.菱形性质的应用例题的设计由易到难、由浅入深、层层递进，例如，问题1进行固定结论的猜想证明、问题2开放性结论、问题3上升为动点最值问题、问题4为图形移动最值问题.问题设计由结论单一到多样性，再上升到动态最值，逐步提升问题深度，引导学生思维逐渐深入，提升学生的思维参与度，拓宽学生的思维空间.

本节课从两条纸片出发，通过不断的深入挖掘其内在的价值，使之与菱形发生“化学反应”，贯穿整个教学过程.两条纸片引入新课探究，两条纸片帮助学生归纳菱形基本性质，两条纸片图形化变式巩固性质应用，看似简单的一节课，通过两条纸片串联起来，使得这节课不简单.两条纸片贯穿一节课，在知识教学层面，帮助学生把零散的数学知识串起来，有助于学生构建数学知识体系，形成知识系统；在教育层面，引导学生认识小事物大用处，通过认真努力，微小简单的平常事也能够赋予其非凡的意义.学生在学校受教育不仅仅是学习知识，更重要的是培养良好的习惯、树立正确的人生价值观及思维水平的提高等.

1.孙勇.关于数学应用能力若干问题的探讨［J］.课程·教材·教法，2010（8）.

2.陈建仁.数学开放题教学模式探讨［J］.内蒙古师范大学学报（教育科学版），2005（10）.

3.路亚飞，朱哲.追本溯源，逆向探究——以角平分线教学为例［J］.中学教研（数学），2015（9）.