基数意义下自然数的运算（一）

张新春

基数意义下自然数的运算（一）

张新春

基数意义下的自然数的运算是通过集合的运算来定义的，因此，我们先简单介绍一下集合的运算。

（1）设给定的集合A和B，由至少属于集合A或者集合B之一的元素组成的集合，叫做A与B的并集。记作A∪B。

（2）设给定的集合A和B，由集合A和集合B的所有共同元素组成的集合，叫做A与B的交集。记作A∩B。

“交”与“并”是集合间两种基本的运算，它们都满足交换律与结合律，即：

A∪B=B∪A

A∩B=B∩A

（A∪B）∪C=A∪（B∪C）

（A∩B）∩C=A∩（B∩C）

这些集合的运算律都是可以证明的。我们以证明A∪B=B∪A为例。

我们知道A∪B和B∪A都是集合。元素x是A∪B的元素（通常记作：x∈A∪B）指的是x是A的元素或者x是B的元素（也就是x∈A或x∈B）。为了证明A∪B和B∪A这两个集合相等，我们通常用这样的思路：证明集合A∪B的每一个元素都在集合B∪A中，同时，集合B∪A的每一个元素都在集合A∪B中。

设x∈A∪B，则有x∈A或x∈B。（并集的定义）

于是x∈B或x∈A。1

从而x∈B∪A（并集的定义）

以上即证明了A∪B的任意一个元素都是B∪A的元素。

（你可能觉得很无聊，不就是把“或”字两边的内容换一下位置吗？的确是这样，可数学有时候就是这样的：定义是严格的，判断需要根据定义并按照逻辑规则做出。根据定义，x∈A∪B是指x∈A或x∈B，x∈B∪A指的就是x∈B或x∈A，而“x∈A或x∈B”与“x∈B或x∈A”是一个意思，则正是我们所做的推理（使用了数理逻辑命题演算的公理进行推理）。数学推理的最开始几步往往看起来就是这样简单，简单得甚至有点让人觉得不可思议，或者让人觉得多此一举。当你觉得某一步推理简单得不可思议时，你应该提醒提醒自己，当前要证明的这个结论，只能根据已有的定义、被假设为正确的公理、已经被证明了的结论以及基本的逻辑规则来证明，而不能是想当然，也不能依靠直观图形（直观图形只能帮助我们理解，不能代替证明）。于是，你就应该追问：为了证明这个结论，我已知一些什么，我有些什么工具可以利用？当你发现其实此时你可用的工具非常之少、少得不可思议时，你就会觉得那个刚才还看起来不可思议的证明其实非常精巧。欧几里得从几个定义、几条公理和公设出发，推导出欧氏几何的参天大树，其最初几步就是这么精巧。）

完全类似的，可以证明B∪A中的任一元素都是A∪B的元素，于是A∪B=B∪A。

下面我们要利用集合的并来定义加法。

我们知道，集合A∪B的基数并不等于集合A的基数与集合B的基数之和（回忆一下，所谓基数就是指一类互相等价的集合的标志。说得这样绕是为了数学定义的需要。数学中的新概念通常只能用已经被定义了的概念来定义。如果允许我们在还没有定义自然数时就使用“个数”这样的概念，我们一定会把这句话说成“所谓一个集合的基数就是这个集合中元素的个数”）。事实上，如果我们用|A|表示集合A的基数，则有：

|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|

这是所谓的容斥原理，人教版小学数学教材的“数学广角”中有这样的内容。

这说明，我们不能简单地用两个集合的并来定义加法。我们讨论一种特殊情况，即两个集合没有共同元素的情况。

定义：若自然数a，b，c分别是集合A，B，C的基数，而A与B没有公共元素（即集合A∩B是空集），且A∪B=C，则把c叫做a与b的和，记作c=a+b。而求自然数a与b的和的运算，就叫做加法，a和b都叫做加数。

从以上的定义可以看出，加法是以两个不相交的集合的并为基础定义的。儿童用掰手指的办法计算加法，其实就体现了这种定义加法的方式：比如计算4+5，先数出4个手指，再数出5个手指，然后一起数这些手指的个数，就得到4+5的和。

接下来讨论加法的性质，此时，讨论的依据只有加法的定义和前面讨论过的集合的相关性质。

加法交换律：a+b=b+a。

我们要证明加法的交换律。就像以前讨论的，此时的依据只有加法的定义与集合的性质。

按加法的定义，所谓a+b，指的是一个基数为a的集合A与一个基数为b的集合B的并（A∪B）的基数。当然，要求A∩B是空集。而b+a则指的是一个基数为b的集合B与一个基数为a的集合A的并（B∪A）的基数。当然，也要求B∩A是空集。简单地说，a+b是A∪B的基数，b+a是B∪A的基数。由于集合的并满足交换律，即有A∪B=B∪A，而相同的集合具有相同的基数，于是a+b=b+a。

同样，由于集合的并满足结合律，即（A∪B）∪C= A∪（B∪C），从而有：

加法的结合律：（a+b）+c=a+（b+c）。

值得注意的是，按上面的方式定义了加法，并讨论了加法的交换律之后，我们尚且不知道a+b+c是什么意思（别觉得奇怪，想想，加法定义不是只定义了a+b这样两个相加的情况吗？或者说，按我们的定义，所谓加法，就是指两个数相加，a+b+c还没有什么意义）。我们想赋予a+b+c以意义，必须把它转化为两个数相加的情况，于是至少有两种方式，一是规定a+b+c=（a+b）+c，即先把前两个数相加，再加上第三个数；二是规定a+b+c=a+（b+c），而加法结合律则正好告诉我们：不管采用这两种规定中的哪一种，最后的和都是一样的。于是，我们就规定a+b+c=（a+b）+c。

1这里使用了逻辑推理的法则：“x∈A或x∈B”与“x∈B或x∈A”等价。这个推理法则是数理逻辑命题演算的公理。可参见有关数理逻辑书籍。