公理是什么

张景中

从前，公理被认为是自明之理，自明之理是从哪里来的呢？唯心论者认为来自人的先天洞察、上帝给人的启示、人对理念的认识等，唯物论者认为来自人对客观世界规律性的认识，二元论者认为来自人通过先天感知能力对经验的总结，虽众说纷纭，但有一点是共同的：公理是真理，数学家总是受各种各样哲学观点支配的，故数学家也倾向于认为公理应当是自明之理，是真理。

现在，数学家的看法变了，他们认为没有什么自明之理，即使有，也不必要求数学公理是真理，数学公理是对数学对象的性质的约定，什么是直线？直线就是满足某公理的某种东西，满足欧几里得公理，叫欧氏直线；满足罗巴切夫斯基公理，叫罗氏直线：等等。

讨论公理对不对，这对数学家来说是没有意义的，数学家只这样说：如果某一些对象适合于这些公理，它们一定也适合于从这些公理推出的定理，从这个意义上说，数学公理总是对的，就如同中国象棋中“单车难破士象全”总是对的一样，它依赖于下中国象棋的规则，

但也不是随便几条凑起来便可以作为公理，首先，公理不能自相矛盾，也不能推出自相矛盾的东西，这叫作公理的相容性或协调性，其次，讲究节约，任一种公理不应当能从别的公理推出来，能推出来，就作为定理算了，何必算作公理呢？这叫作公理的独立性，还有一条叫完全性，就是在这个系统中，一切命题的真假都是可以确定的，不过，一般说来，有了前两条，也就可以了，甚至，有人认为独立性也不重要，最重要的是相容性，

对公理看法的进步，大大解放了数学家的思维，现代数学中各种公理层出不穷，谁也不说准的公理不对，不过，有些公理很有用，很受欢迎，有些公理没什么用，“束之高阁，并不实行”，建立之后渐渐被人们忘了，甚至没有人注意它们，

数学家也是人，也要吃饭、穿衣，他们自然希望自己的研究于人类有用，尽管他们在逻辑上有建立任何能自圆其说的公理的权力，但他们总还会想到“有什么用”的问题，这样，实际上被数学家重视的公理，总是在一定程度上反映了人们在社会实践中的经验，或代表了人类向某一未知领域探索的愿望，从这个意义上说，公理也就不完全是人们任意的约定了。