浅谈利用导数解决方程问题

◇　江苏　刘智娟



浅谈利用导数解决方程问题

◇江苏刘智娟

导数是解决函数零点、最值问题的重要的工具，方程根的问题通常转化为函数零点问题处理，因此可借助导数来处理，下面举例说明.

1利用导数判断方程根的个数

分析判断某区间内方程根的个数可以转化为判断函数在区间上的零点个数,此时先利用导数判断函数在该区间上的单调性,再利用零点存在性定理或数形结合的思想,求出方程在区间上根的个数.

当a<0时,因为x>0,所以f′(x)>0恒成立,所以函数f(x)在(0,+∞)上是单调增函数. 又因为x→0,f(x)→-∞;x→+∞,f(x)→+∞,所以函数f(x)在(0,+∞)上有且只有1个零点.

当a>0时,令f′(x)>0,解得x>a,所以函数f(x)在(0,a)上是单调减函数,在(a,+∞)上是单调增函数,所以

fmin(x)=f(a)=a-alna=a(1-lna).

当a(1-lna)>0时,即0

当a(1-lna)=0时,即a=e,此时函数f(x)在(0,+∞)上有且只有1个零点.

当a(1-lna)<0时,即a>e,此时函数f(x)在(0,+∞)上有2个零点.

解法2原方程解的个数可转化为方程alnx=x的解的个数,即g(x)=alnx的图象与直线y=x的图象交点的个数,当a=0时,原方程无正实数根.

图1

当a<0时,2个函数的图象有1个交点,原方程有1个实数根(如图1所示);当a>0、直线y=x与g(x)=alnx相切时,设切点为

(x0,alnx0).

图2

当a>e时,根据函数h(x)=alnx的图象的特征知,2个函数的图象有2个交点,原方程有2个实数根; 当0

又因为x≠1,所以h(x)在(0,1)、(1,e)上均为减函数,在(e,+∞)上是增函数.

图3

当x∈(0,1)时,x→0,g(x)→+∞;x→1,g(x)→-∞, 当x∈(1,+∞)时,x→1,g(x)→+∞,g(e)=e,x→+∞,g(x)→+∞,(如图3所示)

当a>e时,2个函数的图象有2个交点;当a=e或a<0时,2个函数的图象有1个交点;当0≤a

2已知方程有解,利用导数求参数范围

分析利用函数与方程思想,将方程在区间上有解问题,转化为2个函数图象有交点,此时根据例1的3种解法,求解参数的取值范围.

当a≤1时,因为x∈(1,+∞),所以f′(x)>0恒成立,所以f(x)在(1,+∞)上是单调增函数,所以f(x)>f(1)=1>0,f(x)=x-alnx在(1,+∞)上的图象与x轴没有交点,此时方程x-alnx=0在区间(1,+∞)上无解.

解法2设函数g(x)=alnx,x∈[1,+∞)的图象与y=x的图象有交点,根据例1解法2知,当a≥e时,2个函数的图象有交点,所以实数a的取值范围是[e,+∞).

当已知方程在某区间上有几个解,求参数的取值范围,常常利用方法2,即利用函数与方程、变量分离和等价转化,转化为2个函数有几个交点,从而求出参数的取值范围.

变式已知方程x-alnx=0在区间(1,+∞)上有2个不相等的实数解.求实数a的取值范围.

答案: (e,+∞).

(作者单位：江苏省大丰高级中学)