学生数学符号意识PORE评价框架的构建

朱立明，马云鹏

（东北师范大学 教育学部，吉林 长春 130024）



学生数学符号意识PORE评价框架的构建

朱立明，马云鹏

（东北师范大学 教育学部，吉林 长春 130024）

摘要：“符号意识”作为《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出的10个核心素养之一，是学生必须具备的一种数学素养．评价学生符号意识的发展水平，是教育工作者在义务教育阶段数学课程与教学中不能回避的任务．基于对符号意识内涵的分析和国内外的相关研究成果的借鉴，构建了一个关于数学符号意识4个维度（数学符号的感知，数学符号的运算，数学符号的推理，数学符号的表达），每个维度包括由低到高3或4个水平的PORE评价框架．

关键词：义务教育阶段；符号意识；核心素养；发展水平；PORE评价框架

1 问题提出

英国著名数学家罗素曾说：“数学是什么？数学就是符号加逻辑”．数学符号是抽象思维的产物，可以表示一般的数量关系及变化规律．在数学中，现实世界的数量关系和空间形式是以抽象的数学符号和公式表达出来的[1]．而数学公式一般也是借助数学符号来表达的数学命题，是数学课程内容的重要组成部分[2]．2011年颁布的《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标（2011版）》）将符号意识作为10个核心素养之一，而数学符号是抽象性、简洁性与广泛应用性矛盾的统一，因此，学生在符号意识的提升过程中，往往只是进行机械性记忆，难以厘清数学符号之间及其与数学知识之间的相互联系，符号意识的缺乏将直接影响学生对数学的理解和感悟，引导学生通过学习活动将数学符号内化，形成真正的符号思维是一个长时间的过程[3]．正如波利亚（G.Polya）所说：“学生没有充分的机会亲身体验到数学符号语言有助于思维，那他讨厌数学是无可非议的，帮助学生获得这方面的经验体会是教师的重要职责”[4]．

要发展学生的符号意识，首先，需要清晰地了解学生符号意识的现状；其次，要对教师是否在数学教学活动中有效地培养了学生符号意识进行合理的价值判断；最后，以此判断为依据，帮助教师制定科学的教学目标，选择适切的教学策略，促进学生符号意识的发展．因此，构建一个能够评价学生符号意识发展水平的框架是十分必要的，这也是培养学生符号意识的前提．

2 相关概念的界定

2.1 符 号

亚里士多德基于知识论和逻辑学对符号、概念和对象3者做出区分，认为符号并不能直接表示现实中某个事物，而是通过人的观念与“意识的内容”发生联系，这种观点注意到符号与现实事物之间的思维认知作用，被后来的语言学家、符号学家们普遍接受[5]．

最早从语言学的视角研究符号的是瑞典语言学家索绪尔（Saussure），他认为当某事物A作为另一事物B的替代而代表事物B时，事物A的功能称为符号功能；承担这种功能的A称为B的符号（Symbol）．一个符号由“能指”和“所指”组成，“能指”是一个可被感知的具体的“形象”；“所指”则是“能指”所指对象的精神概念[6]．

美国符号学家皮尔斯（Charles Sanders Peirce）从符号学的视角提出符号就是对象的再现（representation），他认为符号包含符号、对象、解释3个主题，具体地说，一个符号涉及除它自身以外的一个对象（object），对象可以是现实事物，也可以是另一个再现符号，而符号在与对象的联系中，在符号使用者的头脑中便产生了解释（interpretation）[7]．

很明显，索绪尔和皮尔斯虽然从不同视角对符号进行定义，但索绪尔所说的“能指”和“所指”，类似于皮尔斯所说的“符号”和“解释”，两者共同特点在于符号是一种物质对象并具有某种意义，莫里斯（C.W.Morris）认为，“意义”是一个功能性的行为过程，“意义”蕴含着符号，符号蕴含着规则，规则蕴含着解释者[7]．

2.2 意 识

从英语词源的角度来看，“Sense”在英文中的意义十分丰富，不仅仅是“感觉”之意．在Longman Active Study Dictionary of English 中，对“Sense”的前面4个注释是：理解与判断的力量或能力；一种难以准确描述的情感；良好的尤其是实用的理解与判断；视觉、听觉、嗅觉、味觉、触觉的其中之一．

从心理学角度来看，意识是包括感觉、知觉、思维在内的一种具有复合结构的最高级的认识活动，思维在其中起着决定性的作用，具有自觉性、能动性、创造性等特点，在人的各种心理活动中，它发挥着调节、指导、控制的作用[8]．意识可以分为3种水平：无意识水平，即主体对其自身状态或外界变化没有觉知的意识状态；前意识水平，即人脑中所保持的经验或信息在需要时可以提取再现而达到觉知的意识状态；潜意识水平，即蕴含在意识层下的欲望被控制、压抑而使主体不觉知的意识状态[9]．

通过英语词源与心理学两个视角的论述，研究者认为意识具有内隐性与外显性，意识的内隐性主要表现在以思维为主导的一种积极主动的反应和心理认知倾向；意识的外显性主要表现在理解与判断、交流与表达的能力．

2.3 数学符号意识的分析层面

基于以上分析，数学符号意识是数学符号的下位概念，对其继续划分，得到数学符号意识包含3个层面，即数学学科、抽象符号以及心理意识，下面从数学学科、符号学、心理学3个视角对数学符号的内涵进行定义．

图1 数学符号的内涵

数学符号意识，即学习者借助思维的决定性作用，对数学知识与数学符号（包含一切数学含义的专用标记、表示数学概念和数学关系的符号或记号，例如字母、图像、表格等）之间抽象对应关系的一种积极主动的反应和心理认知倾向（内隐性），在通过数学符号的感知与理解、运算与推理、交流与表达等数学思考方式解决数学问题过程中所表现出来的一种数学符号的核心素养（外显性）．

3 符号意识的研究现状

不同人的符号意识是不同的，不同人符号意识表现的强弱也是不同的，目前国内外关于“符号意识”的一些研究成果，将为构建数学符号意识评价框架起着重要的借鉴作用．

3.1 国内研究现状

由于《课标（2011版）》将数学符号的要求由原来的“符号感”改为“符号意识”，因此，以“数学符号感”和“数学符号意识”为核心词在CNKI数据库中进行检索，查到与义务教育阶段数学符号意识相关的文献有125篇：英语文献18篇；中文文献89篇；学位论文18篇，其中博士论文3篇，硕士论文15篇，其分布如表1所示．

表1 符号意识的文献分布表

其中，席振伟、徐本顺认为数学符号具有物质性、非相似性、抽象性、精确性、规范性、通用性、自我生成性和开放性的特征，并指出选择数学符号应遵循整体性、单义性、简明性、表意性和科学性等基本原则[10]．托和勒理通过论述数学符号的历史发展及形成过程，指出数学符号系统既是数学的内容，同时又是思维的材料、要素以及表达形式．数学符号系统的功能主要表现在作为认识的载体、描述的手段、推理的工具；约简思维、加快思维进程；规范思维、促进思维的机械化；及将思维过程演算化、计算化，使“人机”对话成为可能等方面[11]．查永平按照近世数理逻辑的观点将数学符号可以分为4大类：（1）研究对象的符号；（2）运算符号；（3）表示量与量之间的关系符号；（4）表示辅助的符号[12]．邵光华、刘明海（2005）按照感知规律将数学符号分为3类：象形符号；缩写符号；约定符号[13]．

2001年《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称《课标（实验稿）》）首次将符号感作为数学的一个核心素养提出．符号感主要表现在：能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号来表示；理解符号所代表的数量关系和变化规律；会进行符号间的转换；能选择适当的程序和方法解决用符号所表达的问题[14]．郑毓信认为，“符号感”一词还有待商榷，与“符号感”这样一种多少会使人感到“不可明确言状”的提法相比，在此所面临的一个重要任务是，如何对“数学语言”的特殊性做出深入的分析[15]．“感”更强调于由于外界刺激作用于主体而产生的，是通过肢体（如感官等）而非大脑思维，因此含有原始性的、经验性的成分[16]．《课标（2011版）》对一些核心素养作了相关修改和补充，将《课标（实验稿）》中的“符号感”修改为“符号意识”，并指出符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具一般性．符号意识的建立，有助于学生理解符号的使用，也是数学表达和进行数学思考的重要形式[17]．王林全曾提出符号意识的说法，并从理解阅读能力、鉴赏能力、探究能力、选择能力和运用能力5个方面来阐述发展学生符号意识的问题[18]．史炳星、马云鹏、唐复苏基于问题解决过程认为学生符号意识的发展包括：能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号表示；理解符号所代表的数量关系和变化规律；会进行符号间的转换；能选择适当的方法解决符号表示的问题[19]．

祁正国指出符号感的培养应注重3个方面：即理解符号意义，扩展符号联结；联系实际模型，化抽象为具体；表示一般情况，揭示普遍规律[20]．张号等基于“符号感”与“符号意识”的内涵与区别，论证了《课标（2011版）》对其修改的必要性，并指出符号意识的培养关键在于回归实践[21]．

综上可以看出，国内关于符号意识的研究，2001年以前主要集中在对数学符号本身的研究，例如数学符号的特征、数学符号的历史发展及其演变、数学符号的功能、数学符号的分类、数学符号思想、数学符号价值等，而2001年以后更多研究已经逐渐脱离了针对数学符号本身的论述，主要集中在数学符号意识的内涵解读、数学符号感（数学符号意识）的培养等方面，这与《课标（实验稿）》以及《课标（2011年版）》对将符号感（符号意识）作为核心素养是分不开的，符号意识应该被重视，没有符号化的代数，就没有高层次的数学数量科学，从而也就没有现代技术和现代科学的发展[22]．

3.2 国外研究现状

国外对符号意识（Symbol Sense）的系统研究并不多，主要集中在以下几个方面：Hilbert David从数学的起源角度出发，认为数学的起点就是符号[23]．Huxley Aldous从数学发展的角度出发，认为一些重大的数学进展都归功于符号的发明，尽管它们必须进行解释[24]．数学符号的使用是推动数学发展的内在动力因素之一．“数学的一切进步都是对引入符号的反应”[25]．Truesdell Clifford从功能的角度出发，对符号和文字加以区分，认为世上没有任何东西是能用数学符号表达而不能用文字表达的，反之则不成立[26]．这时的研究仅停留在数学符号的层面，并没有提出符号意识．对符号意识进行比较系统的研究和深入剖析的是J.Fey和Abraham Arcavi．J.Fey认为符号意识是“处理符号表达和符号操作的非正式技能（informal skill），包括：（1）认知与鉴别技能，对数学符号本质有深刻的理解，对于以数字、图像表示的数学模式，能够粗略估计其分析表达式，鉴别以某个法则表示某个模式是否恰当；（2）估算技能，对以某种符号法则表示的某种函数，能对函数值进行非正式的估计和比较；（3）验算与预测技能，对运算结果做出算术估计，或对已进行的运算的正确性做出判断；（4）选择技能，对一个特定问题，从几个等价的解答中确定最合适的形式[27]．Abraham Arcavi认为符号意识是对符号的鉴赏（appreciation）、理解（understanding）、直觉（instinct），发展学生的符号意识是数学教育的重要目标之一[28]．Arcavi从行为的角度列出符号意识的7种表现：（1）感知和理解符号力量的美妙和神奇，能够适切地应用符号去表达隐性的数量关系、一般化以及证明；（2）在解决问题过程中，知道何时放弃符号而选择其他方法或者寻求更容易简练的表征方式；（3）符号操作和符号解读表达是解决代数问题的两个补充层面；（4）在解决问题过程中，能够成功处理表达文字信息和图象信息的符号之间的关系；（5）能够选择一个可行的符号表达式表征问题并能够根据需要加以替换；（6）能够有意识地检查问题解决过程中符号的意义，并将其与自己的直觉或问题的预期结果对照；（7）体会不同情境中符号具有不同的意义和作用[29]．Pierce.R 和Stacey.K在Arcavi的基础之上，提出了从数学问题到问题方案过程中的符号意识，他们称之为代数洞察（Algebraic Insight），并从代数期望和联结表征两个层面构建了研究框架[30]．还有一些学者认为符号意识是一种能力，例如Kinzel认为符号意识就是“认识符号、操控符号和解释这些符号的能力的结合”[31]．Zorn认为，“符号意识就是从符号中抽象出数学涵义和结构，有效的解析符号的涵义，以及有效的操纵符号来发现新的数学涵义和结构等能力”[32]．

国外研究主要认为符号意识是技能、行为（Arcavi）、洞察（Pierce.R ＆ Stacey.K）、能力（Kinzel ＆ Zorn）等，其中以J.Fey和Arcavi为代表，两人分别从技能与行为表现不同角度尝试着给符号意识下定义，但是这种定义均属于描述性的，只解释了“符号意识是什么？”，没有说明“什么是符号意识？”Pierce.R和Stacey.K是在Arcavi的研究基础之上提出符号意识的一个子集，即代数洞察，并构建理论框架，应用于问题解决过程中方案选取阶段符号意识的研究．

4 学生数学符号意识评价框架的构建

“符号意识”作为一种隐性的课程目标，评价的标准是什么，以什么方式进行评价，是不得不思考的问题，参考国外关于符号意识相关框架构建的方法和《课标（2011版）》对符号意识的描述，利用SOLO分类法对符号意识进行了维度和水平的划分．其中，维度的划分主要是依据Arcavi关于符号意识的行为表现和《课标（2011版）》对“符号意识”内涵解释进行的，按层次构建了包含4个维度的PORE评价框架：数学符号的感知（perception），数学符号的运算（operation），数学符号的推理（reasoning），数学符号的表达（expression），在各维度下，借鉴Pierce.R和Stacey.K的关于代数洞察的具体常见情境和SOLO分类法划分不同水平，如图2所示．

图2 数学符号意识在问题解决中的应用

4.1 维度一 数学符号的感知（perception）

数学符号的感知是对数学符号的直观认识，不仅包括感知、理解数学符号本身所特有的含义，也包括数学符号之间相互关联性，理解数学符号的意义及数学符号之间的关系．是数学学习最基本要求，也是符号意识的最基本要求．数学符号的感知有3种状态：符号模糊状态；符号单一状态；符号关联状态，此维度可以划分为3个水平，如表2所示．

表2 数学符号的感知水平

4.2 维度二 数学符号的运算（operation）

数学符号的运算是数学活动中最重要的基本形式，运算是根据一定的数学概念、法则和定理，由一些已知量通过计算得出确定结果的过程．此维度的核心是基于数学运算的符号操作，符号操作作为解决代数问题的一个重要补充，是需要学生必须掌握的数学技能之一．数学符号的运算所得结果的一般性体现出数学符号的本质特征[33]，数学符号的运算包含3个阶段：具体数字运算阶段；符号形式上的运算阶段；符号程式化运算阶段，此维度可以划分为3个水平，如表3所示．

表3 数学符号的运算水平

4.3 维度三 数学符号的推理（reasoning）

数学符号的推理包括合情推理和演绎推理，合情推理的基本思路是“通过经验过的东西推断没有经验过的东西”，是形成数学猜想的重要途径[34～35]，是一种从特殊到一般的推理形式，正如史宁中教授所说：“数学的结果是‘看’出来的，而不是‘证’出来的．”[33]但是这里的结果未必是真的，需要通过演绎推理对其真伪加以验证，演绎推理是一种从一般到特殊的推理形式，此维度可以划分3个水平，如表4所示．

表4 数学符号的推理水平

4.4 维度四 数学符号的表达（expression）

发展符号意识最重要的是从数学符号的角度运用数学符号系统进行数学表达[36]．符号的表达是一种理性的表现，可以使数学问题的解决呈现一定的规律，从而避免杂乱无章信息的干扰，并从中发现一些共性的东西，提升有序思维，所以，从某种意义上说，数学符号的表达正是数学符号作为一种意识需要强化的．数学符号的表达有3种表现：数学对象和数学关系的符号化；利用数学符号进行数学表达；多种数学符号之间的相互关系及其转化，此维度可以划分为4个水平，如表5所示．

表5 数学符号的表达水平

5 结 束 语

将符号意识作为学生数学学习的核心素养，是由数学学科以及社会发展对人的需要所决定的，集中体现了数学课程与当前时代的相互适应．学生经历了数学符号学习的实践活动，就自然会在生活和学习中用数学符号去表达自己的观点，推演相应的结论，形成一定的数学符号意识．“符号意识”作为课程目标，缺少一定的评价标准和框架，这就会使课程目标的价值和意义大打折扣，希望本研究能够为符号意识测量工具的编制指引方向，进而实现对《标准（2011版）》中“符号意识”这种隐性课程目标的评价．

［参 考 文 献］

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[责任编校：陈隽]

PORE Assessment Framework of the Students’ Concept of Symbol Sense

ZHU Li-Ming, MA Yun-Peng
(Faculty of Education, Northeast Normal University, Jilin Changchun 130024, China)

Abstract:Symbol sense, which is one of ten core competencies set on the curriculum standard of mathematics (2011), is the essential self-cultivation of the pupils.The assessment the level of pupils’ symbol sense, that is the unavoidable task about curriculum and teaching in compulsory education.Based on the analysis of the meaning of symbol sense of data analysis, and the reference of related research achievement, we constructed a PORE assessment framework, which include four dimensions perception, operation, reasoning, communication, every dimension also include three or four levels.

Key words:compulsory education; symbol sense; core competencies; developmental level; PORE assessment framework

作者简介：朱立明（1986—），男，河北承德人，博士生，主要从事课程与教学论研究．

基金项目：教师教育协同创新中心总体设计的合作研究重大项目“高素质教师成长规律与培养方式变革研究”下的重点研究课题——教师教育创新课程开发与教学设计（XTZX20130002）

收稿日期：2015–09–08

中图分类号：G420

文献标识码：A

文章编号：1004–9894（2016）01–0084–05