中美两国初中数学课程的问题情境水平比较研究——以“函数”内容为例

陈志辉

（华东师范大学 教育学部课程与教学研究所，上海 200062）



中美两国初中数学课程的问题情境水平比较研究——以“函数”内容为例

陈志辉

（华东师范大学 教育学部课程与教学研究所，上海 200062）

摘要：通过改进Yeping Li开发的课程内容情境三维模型，建立了数学问题情境水平的六情境三维特征分析框架，并选取中美初中数学课程的“函数”内容为例，对两国问题情境水平进行比较．研究发现，中国上海教材的数学特征比美国加州的教材高（即数学问题外部表征的复杂程度更高）．具体而言，在表征特征方面，加州教材中以非文本类的描述性表述为主的问题表征方式占绝大比例，而上海则多以文本类的叙述性表述方式为主；在任务特征方面，上海教材整体的任务要求比加州教材高，但在强调“概念性理解”的任务要求层次上，两者则具有很大的一致性．并据此进一步提出针对中国新一轮数学课程改革特别是课程设计方面的一些建议．

关键词：问题情境水平；数学特征；表征特征；任务特征；中美数学课程比较

1 研究背景

数学课程是数学教与学过程中重要的载体，数学问题在数学课程中扮演着极其关键的角色，而数学问题则产生于数学情境．数学情境在数学教与学的过程发挥着关键的作用，其质量也将直接影响着课程的运作效果；甚至，从长期的角度来说，数学问题情境的特点对学生数学素养的形成更是有着深刻的影响．而PISA倡导的“数学素养”理念强调学生应能对各种生活情境下的数学问题进行辨析并找到解决的策略，将所学的知识应用于实际情境中，该理念已得到世界各国教育界的关注和重视．中国在21世纪初的数学课程标准（或大纲）中均提及“数学素养”的概念，最新一轮数学课程改革文件（即《义务教育数学课程标准（2011年版）》）里则将义务教育的数学课程性质定位为“能为学生未来生活、工作和学习奠定重要的基础”[1]．

新世纪初期，国内关于数学问题情境方面的研究主要集中在情境教学模式的探索与问题情境创设策略等方面，如吕传汉、汪秉彝等长期聚焦于中小学“问题—情境”学习模式的研究[2]，并通过教学实验不断进行理性提升和教学模式的拓广[3]；傅赢芳、张维忠等[4]对情境文化性特点进行了分类探究．现阶段对于数学课程问题情境的研究则主要是进行概括式描述，如鲁小莉[5]从PISA的视角出发，对PISA所涉及的问题情境类型的分布进行分析；高文君、鲍建生等[6]以中美数学教材二次方程和函数的习题为例，构造出数学问题任务要求维度上的认识水平分析框架．综上可见，针对问题情境的整体特性进行深层次刻画的研究却较为少见．因此，以初中数学教材中“函数”章节课程内容为依托，试图建立起数学课程问题情境水平的模型框架，并对中美初中数学课程的问题情境水平进行比较，以期对中国数学课程改革特别是数学课程设计方面提供一些思路和建议．

2 研究设计

2.1 研究对象

中外学生在PISA测试中的数学学业成就存在着较大差异，选取中国方面的数学课程样本时，考虑到中国大陆只有上海地区的学生正式参与过PISA测试项目，因此，中国方面选取了上海教材作为代表，美国方面选取应用广泛的加州Glencoe/McGraw-Hill教材．由于“函数”是PISA测试“变化与关系”领域较有代表性的内容之一，因此，选取“函数”相关内容作为研究对象，选取的章节内容见表1．

表1 上海和加州教材“函数”内容的相应章节选取

2.2 分析框架

2.2.1 数学情境及其水平因素的提取

国内对“数学情境”内涵的诠释并没有统一的说法．有研究者[7]认为，情境是“一个人在进行某种行动时所处的社会环境，因此，数学情境被认为是含有相关数学知识和数学思想方法的情境”；也有研究者[8]认为，数学情境指“学生从事数学学习活动的环境，是产生数学学习行为的条件”．

综上所述，可知对数学情境内涵认识的基本特征是“学习活动的环境”（情节）以及“数学学科知识”（思想内涵），是整合这两方面特征的描述，但却都忽略了这种整合的表现形式．因此，在界定“数学情境”概念时，认为整合数学知识和学习环境的表现形式也包含于其内涵中，即“通过某种信息传递形式（如连续文本或非连续文本等），承载一定认知任务要求并含有相关数学知识与数学思想的环境”．

那么，数学情境应包含哪些分析因素？

首先，对情境进行分类，可借鉴PISA做法，PISA将数学情境按与学生生活的远近程度分为5个水平，从低到高分别是个人情境、教育情境、职业情境、公共情境和科学情境，鉴于数学课程中问题简洁的特点，加入“无情境”作为最低水平的情境类型，因此，将数学情境划分为以上6类．

其次，在对数学问题情境成分分析的研究中，Stigler （1986）等人[9]在对数学教科书的数学语句问题（广义上的数学问题情境）进行编码分析时认为“数学特点”和联系上下文的“表征形式”是两个重要的分析维度．Yeping Li （2000）[10]认为以上两个特征方面的差异性会在数学任务的要求中体现出来，比如数学问题所引出的学生回应方面（例如“解释”）和认知方面（例如“程序性练习”）．因此，Yeping Li开发了一个针对教科书数学问题呈现的3维度分析框架，包括“数学特征”、“表征形式”和“任务要求”3个维度：其中“数学特征”包括单运算程序要求（S）和混合运算程序要求（M）2个层次；“表征特征”包括纯数字和单词形式的数学内容（PM）和用图形或故事表示的解说内容（IC）2个层次；而“任务要求”包含“反应类型”和“认知要求”2个方面．Yeping Li研究表明，该模型能够反映一个国家或地区的教育目的和数学课程目标等．

综上所述，确定数学情境为6种类型，且将每类数学情境的分析因素确定为“数学特征”、“表征特征”和“任务特征”3个维度，得到关于数学问题情境水平的分析框架．

2.2.2 分析框架的改进和具体化

Yeping Li研究发现，对于问题情境各个特征的层次划分仍存在一定的局限．因此，研究根据研究内容对该模型进行必要的调整和改进，综合了Yeping Li、鲍建生[11]等人的研究，对各个维度上的层次水平进行划分，确立了描述数学问题情境水平的六情境三维特征分析模型，见表2．

表2 数学问题情境水平分析框架

例如对《上教本·八年级下》中一道习题：某公司急需用车，但暂时无力购买，于是准备与出租车公司签订合同．以每月行驶x千米计算，甲出租车公司的月租车费用是y1元，乙出租车公司的月租车费用是y2元，如果y1=f(x)、 y2=g(x)，这两个函数的图像如图1所示，那么：

图1 出租车费用函数图像

（1）每月行驶多少路程时，两家公司的租车费用相同？

（2）每月行驶多少路程时，租用甲公司的车合算？

（3）如果每月用车的路程约为2 300千米，那么租用哪家的车合算？

依上述分析框架，对该问题进行编码如下：首先对情境类进行判别：由于问题情境涉及某类公司的开销策略，因此可将其情境类编码为职业情境（OL）．然后，对该问题情境3个维度的特征进行判别：数学特征水平方面，由于整个问题的外部表征中没有包含运算，因此确定为水平1 （NC-1）；表征特征水平方面，由于问题表述形式为故事情节加图像说明，因此确定其表征特征为水平4（SC-4）；任务特征水平方面，由于该题的考察要求是考察直线交点的含义、一次函数解析式的求解以及对于一次函数的应用问题，因此确定其任务特征为水平3（PS-3）．

为确保分析框架的科学性，对PISA2012、SSAT Math试题和上海市2013年中考数学试题的数据进行了检验，检验结果发现所建立的模型对数学问题情境的描述与刻画基本符合初始假设和客观实际．在对中美教材中的问题进行编码时采用小组多人编码，对有异议的编码进行讨论并最终统一意见，确保编码和判别的科学性与客观性．

3 研究结果

根据以上分析框架对两国相应课程内容的问题一一进行统计和分析，得到以下研究结果．

3.1 数学问题情境类别比较

两个版本中涉及函数的课程内容中，加州版教材的题例（694）远远多于上教版教材（238），但从例题所占的比重上看，则是上教版的比重较高．对题例进行一一判别，统计数据见表3．

表3 加州和上海“函数”问题情境类统计

根据表3可以做出其比重分布图，见图2．从图2可发现，两个版本的题量虽然有着很大的差异，但在问题情境的分布上却有着一定的相似性，特别是“无情境”问题比重（加州比重为60.37%，上海为62.61%）有很高的一致性，说明两个版本对于数学问题的设计上绝大部分（约五分之三）都不含情境．“个人情境”方面，加州（5.48%）大约是上海（2.94%）的2倍，说明了加州课程在数学问题情境的创设上比上海对学生的个人生活方面的情境的关注度较高；在“教育情境”方面，上海（19.75%）远远多过于加州（7.06%），说明上海课程创设数学问题情境时较多关注学生的教育（环境）生活；另外3类情境，加州都占据了一定的优势．

按PISA强调的“数学素养”（即关注各种真实的情境）所提出的5类情境，对两个版本中问题包含“数学情境”的分布情况进行对比，可得到更加明显的结果，见图3．从图3可以发现，两个版本基本都包含了这5类情境，但是两个版本在数学问题情境创设的侧重点上有较大差异：加州版本的教材在5类情境的创设中比较注重“公共情境”（10.95%）和“职业情境”（8.07%），而这两方面是上海教材数学问题情境中比较欠缺的题材（上海教材中该两类之和才达到8%）；上海教材中对于数学问题情境的创设偏爱“教育情境”类型（在所有包含情境的37.39%中占了19.75%），而关于其它类的数学问题情境考虑较少，特别是“个人情境”和“公共情境”两类问题情境，其比重均在3%以下．

图2 问题情境类比重分布图

图3 问题情境类雷达图

3.2 数学问题情境水平比较

3.2.1 数学问题情境整体水平比较

首先，根据模型的赋值标准对加州和上海教材上相应内容的问题情境特征水平分别进行评分，为了不失科学性，在评分过程中使用多人评分的方法，并对存在疑问的数学问题进行讨论，以确保对问题的数学特征、表征特征和任务特征所处的水平进行可靠的描述，统计结果见表4．由此获得两个版本教材的3方面特征的均值，并依此得到加州和上海数学课程函数内容的问题情境总体水平比较曲线图，见图4．

由图4可以看到，加州和上海教材中函数部分内容的问题情境总体水平上各自有着鲜明的特点，因此两者之间也存在着很大的差异．

首先，从纵向上看，加州教材的数学问题情境的3个特征中，其表征特征值（2.122 5）最高，而其他两方面即数学特征和任务特征的均值则大致持平，上海教材则是以数学特征（2.701 7）最为突出，而表征特征的值反而是当中最小的．其次，从横向上看，上海教材除了在表征特征均值比加州小以外，其它两方面的特征均值都比加州高．表征特征方面（1.550 4）则比加州（2.122 5）要低出约30%，而数学问题的数学特征值（2.701 7）比加州（1.677 2）高出约61%，任务特征也要比加州高出约25个百分点．

数据内容反映了加州数学教材在数学问题情境的创设时表征方式更加具体和生动，但数学表达式方面复杂度以及问题的任务要求不高；上海教材在问题情境中数学表达式的复杂程度较高，任务要求方面也相对高一些，而表征表达方式则整体倾向于描述性表征，形象性运用表征方式较少．

表4 两国教材“函数”内容的数学问题情境三维特征水平

图4 加州和上海“函数”内容问题情境总体水平对比

3.2.2 数学问题情境各特征水平比较

总体的特征只能了解到两个教材中问题情境水平各个特征的概况，还不能触及到具体的内容，因此，仍需要对每一个特征的具体内容展开探究．

图5显示，加州教材中问题表征上数学表达式中以不包含运算的占绝大多数（61.38%），而少数包含运算的几乎都比上海同等步骤的少，三步运算的比重就已经极少（只有3.17%）；而上海教材中函数部分的数学表达式不含运算的只有不到三分之一的比例（30.67%），这意味着大多数问题的表征过程都包含了运算，包含运算的比例最多为两步运算（22.69%），运算步数最多达到四步以上，且该部分所占比重大约是加州教材的5倍之多．

对数学特征水平分布的比较结果发现，加州和上海数学课程的“函数”内容中问题情境的数学特征存在着较大的差异，其中很大部分的原因是两个版本的教材在函数内容结构安排有着很大的不同：加州教材的“函数”内容编写较为细致，许多知识点都被单独列为一节的内容，如变量、斜率等概念，因此在单节课程中对于单一概念的问题设计，其运算步骤的长度则相对有限；而上海教材在函数内容的结构安排上较为紧凑，单独一节课程中所要涉及的概念数目相对较多，概念发生联系的机会较大，于是关于运算的长度也就相对较长，而且上海课程目标中对于数学基础知识、基本技能很重视，数学表达式的复杂度也就随着增加．

图5 数学特征水平分布比较

从图6中可以获知，加州教材“函数”内容中问题的表征以图表类表征方式居多（达到39.77%），使用纯数字或短语的次之（约38.47%）；而上海相应课程内容中却以纯数字或短语占据绝大多数的比例（约总量的三分之二左右），这个比例比加州同等类型高出约27个百分点，而图表表征形式的比重只有13.03%，还不到加州同等形式的三分之一．在另外两种表征类型上，两个版本的比重相当．

图6 表征特征水平分布比较

以上数据分析说明，加州教材对问题表征使用最多的表征方式是用图表进行描述性表征，而上海教材在这方面使用最多的是用数字或短语和情节进行叙述性表征．不同表征方式对学生的能力有着不同的影响，习惯叙述性表征形式的学生擅长于在沉思中进行内部表征；而习惯可视化表征形式的学生解决问题时其进行外部表征也就越好．Brenner等人（1999）的研究[12]表明，在问题解决时使用可视化进行表征的能力上，美国学生要比中国的学生表现得更好．

从图7中可以清楚地发现，加州教材“函数”部分的内容在任务特征水平分布上以“识记型练习”（45.24%）和“概念性理解”（44.52%）的任务要求为主，至于任务要求较高部分所占比例很少（后两项比重之和只有10%左右）；而上海在任务较高水平（“问题解决”和“问题探究”）的比重则占了30%左右，这一部分大约是加州同等任务水平的3倍，而在加州所占比例位居首位的“识记型练习”上仅有25%左右，“概念性理解”水平所占比例最大（43.70%），这一比例和“问题探究”所占比例均与加州同等任务水平大致持平．

对以上数据的分析说明两个版本在“函数”内容中数学问题的任务要求方面既存在共性，又有着各自鲜明的特点．两个版本的内容都在“概念性理解”所占比例相差无几，而且是各自任务特征水平中的重要比例部分，说明两地教材在问题任务的要求上都强调了“概念性理解”水平；而存在差异的地方是加州教材除了重视“概念性理解”以外，还特别重视“识记型”的任务，而上海教材所侧重的却是更高要求的“问题解决”方面的任务特征．对照上文宏观比较分析的结果，这种差异很大程度上折射出两国（地）课程标准在“函数”内容上目标要求的区别．

图7 任务特征水平分布比较

4 结论与启示

4.1 结 论

通过数学问题情境水平的比较，可以获知加州和上海课程在同一内容上对于数学问题设置体现出不同的特点．总体而言，在数学特征方面，上海教材中数学问题表述的复杂度往往比加州的高，有研究[13]表明，数学问题难度中的一个重要的维度是精确性，而运算步骤的长度会影响计算的精确性，可见，从运算步骤长度比较的结果上看，上海教材计算难度的要求比加州更高．而表征特征方面，加州教材对问题的表征方式较上海具体化，问题的表征方式多以非文本类的描述性表述为主，而上海则多以文本类的叙述性表述为主，由于表征方式对学生数学表征能力（如对图表的解读[14]）的影响也是明显的，这也是之所以“西方学生在解决问题时较多地采用可视性表征方式（图示等），而中国学生较多地使用符号表征方式”的原因之一[15]．在任务特征上，两个版本的课程在强调“概念性理解”具有很大的一致性，但略微不同的是加州课程在强调概念理解以外更加重视“识记型”任务而上海教材则更加重视“问题解决”任务类型，这体现了两国课程对学生认知要求的差异[16]．

4.2 启 示

由此可以得到的教育启示有如下几个方面：

首先，在数学课程改革特别是问题情境类型设置方面，由前文对数学问题情境水平的因素分析发现不同情境类可以体现出课程题材和国家或地区文化的关联性．有研究者[4]指出，由于中国对应用题中存在的广泛的文化现象未给予应有的重视，以至于在应用题中出现了一些高重复率的情境或是不合理的题目等现象．研究发现，上海教材在问题情境类的设置上除了无情境类型以外，与加州的侧重点有着很大的不同，尤其是“教育情境”类型偏多，而这在一定的程度会导致题目的高重复率、过于数学化和不合理等现象．这说明中国（上海地区）的数学课程改革尤其在针对问题情境类的选取上应多关注各种情境的合理安排．

其次，在数学课程设计方面，一方面，针对中国数学课程宏观情况（如探究课类型单一、数量较少等），对探究课的设计应给予一定程度的重视，数量上应有所增加，这将有助于学生进行课外的探究．更重要的一方面是数学问题情境水平的创设，通过对数学问题情境因素分析发现 ，数学问题情境包括数学特征、表征特征和任务特征这3个要素，因此在进行数学课程设计时，对于问题情境的创设应充分考虑这些特征因素的情况，使学习材料更加科学合理．研究发现，中国数学课程问题情境的表征特征方面存在着过分偏重于叙述性而外部表征方式单一，忽略描述性表征方式的问题，若长期下去，将在很大程度上阻碍学生图表解读能力发展．因此，在课程问题情境的创设上须从整体上合理地把握好数学、表征与任务3个特征因素的水平层次．

最后，在数学课堂教学方面，课堂的问题情境除了满足具备数学科特点以外，应注重数学与其他学科文化之间的融合以及与现实生活相联系．数学“素养”的能力要求使学生应在各种情境下拥有运用数学知识的能力，而课堂是影响学生这种思维品质的重要学习场所，因此，课堂上老师所创设问题情境无疑比书本上更加直接和富有感染力，在更大程度上潜移默化地影响学生“数学素养”的水平，课堂中不应只关注较为理想化的封闭式的场景，而应适当注意非理想化和开放的数学情境，才能发挥学习者的创造力，更好地促进他们的数学素养的发展．

［参 考 文 献］

[1] 中华人民共和国教育部．义务教育数学课程标准（2011年版）[M]．北京：北京师范大学出版社，2012．

[2] 吕传汉，汪秉彝．论中小学“数学情境与提出问题”的数学学习[J]．数学教育学报，2001，10（4）：9-14．

[3] 吕传汉，汪秉彝．再论中小学“数学情境与提出问题”的数学学习[J]．数学教育学报，2002，11（4）：72-76．

[4] 傅赢芳，张维忠．中英初中数学教材中应用题的情境文化性[J]．外国中小学教育，2007，（2）：29-32．

[5] 鲁小莉．中美高中数学教材函数一章的情境设置的比较[J]．数学教学，2011，（1）：2-4．

[6] 高文君，鲍建生．中美教材习题的数学认知水平比较[J]．数学教育学报，2009，18（4）：57-61．

[7] 夏小刚，汪秉彝．数学情境的创设与数学问题的提出[J]．数学教育学报，2003，12（1）：29-32．

[8] 毕秀国，宋福贵，董晓梅，等．基于情境的数学启发式教学在经济类高等数学教学中的实践与探索[J]．数学教育学报，2010，19（3）：93-96．

[9] Stigler J W, Fuson K C, Ham M, et al.An Analysis of Addition and Subtraction Word Problems in American and Soviet Elementary Mathematics Textbooks [J].Cognition and Instruction, 1986, (3): 153-171.

[10] Li Y.A Comparison of Problems that Follow Selected Content Presentations in American and Chinese Mathematics Textbooks [J].Journal for Research in Mathematics Education, 2000, 31(2): 234-241．

[11] 鲍建生．中英两国初中数学期望课程综合难度的比较[J]．全球教育展望，2002，（9）：48-52．

[12] Fan L, Zhu Y.Representation of Problem-solving Procedures: A Comparative Look at China, Singapore, and US Mathematics Textbooks [J].Educational Studies in Mathematics, 2007, 66(1): 61-75.

[13] American Institutes for Research.Reassessing US International Mathematics Performance: New Findings from the 2003 TIMSS and PISA [R].Washington, DC: Author.From http://www.air.org/files/TIMSS_PISA_math_study1.pdf, 2005．

[14] 朱黎生，杨慧娟．PISA与中考试题中对“读图能力”的考察[J]．数学教育学报，2013，22（4）：39-42．

[15] 蔡金法．中美学生数学学习的系列实证研究[M]．北京：教育科学出版社，2007．

[16] 曹一鸣，郭衎．中美教师数学教学知识比较研究[J]．比较教育研究，2015，（2）：108-112．

[责任编校：张楠]

Comparative Study of the Level of Mathematical Problem Situation in School Mathematics Curricula between China and USA——A Case of Content of Function

CHEN Zhi-hui
(Institute of Curriculum and Instruction in Faculty of Education, East China Normal University, Shanghai 200062, China)

Abstract:In this study, the author tries to establish a three-dimensional analytical framework of six math problem situations to evaluate the level of problem situations in mathematical course.The new framework is based on Yeping Li’s three-dimensional model of mathematical course content.Then the author takes the middle school’s “Function” course in China and America as a sample and makes a comparison of the two courses.The study shows that the level of the textbook’s mathematical characteristics in Shanghai is much higher than that in California-higher mathematical characteristics means the external representation of the math problem is more complex.Specifically, California textbook mainly uses descriptive representation such as non-text form as the main style of representation of mathematical question, while Shanghai textbook mainly uses narrative presentation such as text form; as for the characteristics of task, Shanghai textbook demands more than California textbook in general.But when it comes to the task of emphasizing “conceptual understanding”, both textbooks are almost at the same level.

Key words:level of problem situation; mathematical feature; representational feature; performance feature; comparative studies on mathematics curriculum between China and USA

作者简介：陈志辉（1987—），男，广东普宁人，博士研究生，主要从事数学教育国际比较和数学教师教育研究．

收稿日期：2015–10–05

中图分类号：G40-059.3

文献标识码：A

文章编号：1004–9894（2016）01–0005–05