反思一道“三角函数综合应用题”的典型错解

周婷婷

摘 要：本文首先从知识点、解题思维、解题过程三方面对一道“三角函数综合应用”题进行反思，其次呈现该题的典型错解，并对错解原因进行剖析，最后为教师提供教学建议.

关键词：三角函数；错解；反思

反思是数学教育领域的热门词之一. 在数学教学过程中，教师常会提到反思一词，可见反思在数学教学中有着举足轻重的地位. 三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用. 向量是近代数学最重要和最基本的概念之一，是沟通几何、代数、三角等内容的桥梁，它具有丰富的实际背景和广泛的应用. 本文对一道“三角函数综合应用”题的反思，重在引导学生反思解题所用的知识点，解题思维的起点、层次和规律，从根本上提高学生的数学思维能力.

知识点反思：数学知识是解决数学问题的基础. 例题属于三角函数综合应用题型（三角函数与平面向量、数列相结合），知识点包括三角函数概念及同角关系式、三角函数的图象与性质、等差数列、等比数列、平面向量、平面几何等.

解题思维反思：良好的思维起点是破题的关键.三角函数和向量、数列有机地结合起来，弄清三角函数与向量的“联合点”，灵活应用等差、等比数列的性质，借助正、余弦定理，并准确地运用求三角形内切圆半径的公式.

解题过程反思：清晰的解题过程可以反映学生清晰的思维. 根据等差数列的概念可得出f（x）的周期，根据等比数列的性质得到相应的等式关系，结合正、余弦定理得到△ABC的面积，最后根据面积法得到三角形内切圆的半径.

错解呈现

例题是重庆某学校高一下学期月考的测试题，分析的班是全年级比较好的班，全班57人，有20人得了5-7分（该题12分），即大部分学生只做对了第（1）问，部分学生对第（2）问无从下手. 对于解题过程中出现的错误与疏忽，不能只看到其消极的方面，更要认识到这是一个提高解题能力、完善认知结构的极好机会.例题的错误解答主要集中在以下三种类型.

1. 错解1的呈现

如图1，该类学生把三角形内切圆半径与外接圆半径弄混淆，以致解答错误.该类学生出现这种错误的原因可能有：读题不仔细，没有弄清楚题目的具体要求；知识认知上的错误，把求外接圆半径的公式当作求内切圆半径的公式.

2. 错解2的呈现

如图2，该类学生第（1）问能够解答，但第（2）问就完全没有思路. 该类学生对三角函数综合的应用能力较弱，不知如何将数列应用到三角函数中，不清楚怎样求三角形内切圆的半径.

3. 错解3的呈现

如图3，该类学生掌握向量的定义，完成①，但三角函数的恒等变换掌握不好，出现错误②. 该类学生首先需要从基础知识——三角函数的恒等变换方面进行补救.

反思能够提高学生的数学思维能力、创新能力. 本文通过对例题典型错解的反思，体现了知识点、解题方法、思维过程对学生解题有着重大的影响. 教师应引导学生学会反思，反思解题过程中出现的知识点、解题方法、解题思维.