数学史在教学设计中的作用

钱竞成

摘 要：数学作为人类文化的重要组成部分，“体现数学的人文价值”是《高中数学课程标准》的一条基本理念，而在日常的教学中践行好这一理念显得尤为重要，本文中笔者将以两个具体教学设计案例来阐述数学史在日常教学设计中的重要性.

关键词：数学史；教学设计；作用

数学史融入高中数学教学从提倡到推广已有100 多年的历史，今天我国义务教育教学课本中已经添加了数学史知识，高中数学课程也将“数学史选讲”编入高中选修课中，这说明，数学史已经进入高中数学课堂，在高中数学教学中运用数学史知识是有必要的. 但是高中数学教师对数学教学中融入数学史知识的看法如何以及如何在数学教学中合理地融入数学史知识呢？笔者将以两个具体的教学设计案例来进行阐述.

案例1：弧度制

1. 弧度制的引入

通过同行间相互听课笔者了解到大多数教师是这样处理的：“以前我们研究角的度量时，规定周角的为1度的角，这种度量角的制度叫做角度制. 今天我们学习另外一种度量角的常用制度——弧度制. 本节主要要求：掌握1弧度角的概念；能够实现角度制与弧度制两种制度的换算；掌握弧度制下的弧长公式并能运用解题……”. 这样处理会导致学生产生一个困惑：我们有了角度制，为何还需要引入弧度制？

那么，要弄清楚弧度制的意义就需要我们追本溯源，利用数学史的知识从弧度制的基本思想入手对其进行分析.

基于历史的教学案例设计，一般是在教学环境中再现概念产生的背景和动机，从而使学生能以最自然的方式接受概念. 从历史的演变看. 在弧度制的教学中，首先要抓住从弧长的计算发展到量角制度的转变这一关键点，在弧与角之间建立一一对应.作为教师应该清楚，用统一的方式量弧长与半径单位的思想，是建立弧度制的精髓.

2. 平常处发现问题，引入认知冲突

一张桌子的尺寸是长1米，宽2尺，试计算桌子的面积. 试说明式子sin30°=中30的度量单位和的度量单位. 设计理由：由于在计算桌子的面积时，没有指定面积的单位，所以一道题中出现的面积单位有两个，使用时并不方便.在分析学生答案时，可着重指出这点.但是学生对sin30°=却习以为常，可着重指出30的度量单位是度，60进制的，的度量单位是长度单位，十进制的. 在同一个问题中使用两个不同的单位是很不方便的，更何况在同一个式子中使用两种不同的进位制. 历史上，统一弧长弓半径的思想从萌芽到产生之间的跨度有千年之久，这样设计正是为了激发学生火热的思考. 问题解决之道是将度量单位统一、进制统一. 具体怎么办呢？

3. 复习角度制，制造认知冲突

在平面几何里. 我们把圆周分成360等份，每一份叫做1度的弧. 把1度的弧再细分就得到分和秒. 1度的弧所对的圆心角叫做1度的角. 根据这个定义，整个圆周就是360度的弧，即圆周长是360度，1度=60分，请计算半径是多少分. 设计理由：这其实是托勒密、阿耶波多的思想.从历史的角度看. 度、分、秒最初是度量圆弧这样的曲线的长度单位，在圆弧与圆心角之间建立一一对应后，度、分、秒便成了度量角的单位. 现今的学生已经认识到圆周这样的曲线的度量单位和半径的度量别无二致，而度、分、秒是度量角的单位，内心的认知冲突是难以名状的. 这样设计是为了反映弧与角之间存在一一对应. 也就是弧与角是同构的. 要理解角及其度量制，离不开对弧及其度量单位的正确认识.

4. 反思—迷茫

上面的做法是用圆周的度量单位度量半径，但说半径是多少度、分、秒是很别扭的. 为了消除这种别扭，能否用半径的度量单位来度量圆周长？设计理由：这是托勒密、阿耶波多的思想的反向运用. 根据C=2πr. 假如半径的单位是米，那么圆周长的单位也是米. 但是这样做似乎意义不大. 无论用何种方式度量圆周，都可在弧与角之间建立一一对应. 但是，从角度制的定义看，不论圆的半径如何，都只把圆周分成360份，1度角的大小不因所在圆的半径的大小而变化；而若以半径的度量单位来度量圆周长，此时半径的单位和圆周长的单位虽然一样，但因为不同的圆的圆周长不一，得到的“1度角”的大小与所在圆的大小有关. 因此不能这样定义.

5. 比中划分圆周长

无论圆周有多长，在角度制里，我们总把它分成360份. 由C=2πr，得到=2π引导学生分析式子表示的意义.

设计理由：这其实是欧拉的思想.历史上跨出这一步很是困难. =2π表示若以半径长为单位度量圆周，则无论圆周长如何都只能分成2π个单位，这和角度制是一样的，无论圆周长如何，都只把圆周分成360个单位. 如果说把圆周分成360份还有一定的主观成分在里面，那么以半径长为单位分周长为2π个单位就是不以人的意志为转移的客观规律. 这也可作为弧度制在理论上比角度制优越的一种解释.

6. 水到渠成，定义l弧度角

在定义1度角的时候. 先把圆周长分成360份，每一份弧所对的圆心角就是1度的角. 类似地，在定义1弧度角时，以半径为单位，把圆周分成2π份. 每一份弧所对的圆心角就是1弧度的角. 这时. 每一份的弧长就是半径长. 因此，也有定义把弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.

设计理由：这样定义1弧度的角与定义1度的角有很好的衔接性. 书本上的定义其实是由这个定义派生出来的. 从历史的演化看，角度制、弧度制与其说是量角的制度，不如说是量圆周长的制度.在这点上，弧度制比角度制更实至名归，所以引入弧度制后. 角的大小就是一个实数，而且可以在圆中用弧长来表示. 但不论是量周长还是量整个圆心角，用不同的度量制量同一个对象时总会形成一个关系：2π弧度=360度，正如分别以公里和米量一段1000米的距离时，总有1公里=1000米一样.

在教学这样难度较大的概念时. 最好是采用讲授法，讲清楚概念定义的渊源及合理性. 弧度制、角度制的产生有一个共同点. 那就是如何划分圆周长.在划分圆周长时，角度制带有一定的主观性（要分成360份，其实划分成其他份数也是可以的，只不过更不方便了），弧度制更客观、更科学. 因此教学引入是从角度制带来的不方便开始的，不方便的表面原因是度量制的不统一，深层次的原因是如何更科学、更合理地划分圆周长. 本教学设计反映了人们的这样一个认识过程.

案例2：等差数列前n项和

1. 问题情境

（1）高斯的故事

高斯是德国著名的数学家，18岁时发明了用圆规和直尺作正17边形的方法，解决了2000年来悬而未解的难题. 相传在高斯10岁那年，他的数学老师给全班同学出了一道题“1+2+3+…+100=？”高斯仅用几分钟就把结果算出来了，使他的数学老师大为折服.

1+2+3+…+100=（1+100）+（2+99）+…+（50+51）=50（1+100）=5050.

由学生讨论其算法的巧妙之处，教师适时点评，这种方法我们称之为首尾配对法，它将加法问题转化为乘法运算，从而迅速准确得到了结果.

（2）泰姬陵的传说

泰姬陵坐落于印度古都阿格，陵寝用宝石镶饰，传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有21层. 这个图案一共花了多少宝石？（演示课件，呈现图案）

即求：S21=1+2+3+…+21，是一个等差数列求和问题，考虑高斯的首尾配对法，但是数列是21项，奇数项，意味着配对下来，中间会剩余一项，如果可以探索出一种方法既可以用到高斯的首尾配对法的思想，又不受项数奇偶性的限制来求和，问题就会迎刃而解.

2. 问题解决

请学生回顾梯形面积公式的推导，受梯形面积公式求法的启示，将三角形珠宝图案倒置与原图形首尾相接，构成一个平行四边形，这样每一行的珠宝数都等于三角形图案所含宝石数，即平行四边形所含宝石数的一半. 即

3. 课例分析

本例教学的骨架是“等差数列前项和公式”，它作为主线贯穿整个教学过程，而这堂课因为注入丰富的数学史料而丰满起来，它们是这堂课的肌肉，而公式的推导、公式的运用则是这骨、这肉背后所隐含的灵魂，因此这节课的特点可以概括为“公式是骨、史料即肉、方法为魂”.

这堂课因为数学史料的渗透而变得生动，展示了数学人文的一面，使数学不那么可怕，从而增强学生学习的信心.

问题情境将文化氛围浓厚的“古迹”融入课堂教学中，让学生意识到数学问题的产生是有着丰富历史背景的，它来源于生活又服务于生活，让学生经历概念的发生发展过程，在一定程度上培养了学生正确的数学观；使原本枯燥的、抽象的数学知识变得生动形象，这样课堂学习气氛活跃了，学生学习数学的兴趣得到了激发，从而充分调动学生的主动性；而聆听数学家的故事无疑对学生人格成长具有正面的启发作用. 情境1高斯故事的运用旨在把学生熟悉的“高斯算法”作为新的思想方法的生长点，泰姬陵的传说承接于情境1提出了新的问题，让学生看到“高斯算法”自有妙处，却也有不足之处，因而产生解决问题的需要，是学生探求新知的内在驱动力. 两个问题情境看似相似，却并不重复，层层递进，逐步将学生引到发现新方法的“最近发展区”.

“高斯算法”与“倒序相加法”虽然如出一辙，但是二者之间缺乏必然的联系，从“高斯算法”到“倒序相加法”需要巨大的思维跨越和思维灵感才能完成. 学生在这个地方存在着很大的认知困惑. “倒序相加法”如果直接被介绍，无疑就像波利亚所说的“帽子里跳出来的兔子”. 教学的重点是探索与发现公式推导的思路，我们的目标主要是让学生知道这个公式的来龙去脉，以及这个公式背后隐藏的数学思想方法与思维过程，而并不仅仅是让学生机械地记住这个公式，因此教师需要适时为学生搭建“脚手架”，引导学生回顾梯形面积公式的推导方法，实现了由“高斯算法”到“倒序相加法”的平稳过渡，有效地培养了学生的数学思维能力，提高了学生的创造性思维品质.

总结反思

数学作为人类文化的重要组成部分，“体现数学的人文价值”是《高中数学课程标准》的一条基本理念，《标准》把数学文化贯穿于数学必修课的三个模块之中. 将数学史渗透在数学教学中，对数学教育改革具有极其重要的作用. 从文化角度而言，教育总在传递、延续着一种文化. 我们的数学教育必然是要深深扎根于传统文化的土壤之中，发端于过去、承继至现在并将影响着未来；离开数学史的数学教学会使其成为无本之木、无源之水. 把数学史渗透在教学中能够使教学变得更有趣一些、容易一些、快乐一些，让学生更好地理解数学、欣赏数学、热爱数学.