重视思维培养关注能力发展

卢圣新

摘 要：在课堂教学中，学生思维智慧的火花、探究问题能力的培养容易被忽视，容易被机械训练、题海战术取代，由此，文章提出如何在课堂教学中点燃学生思维的火花、发展学生的能力方面开展课堂活动，使学生主动的学、终身学习能力的培养与课堂教学达到完美的统一.

关键词：课堂教学；思维培养；发展能力；思想渗透

《高中数学课程标准》中指出：“高中数学课程应注重提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一.” 在信息爆炸的今天，知识日新月异，许多新的知识随时随地可能出现在面前，在学校中所学的许多知识通常在走出校门后不久就会被大量遗忘，但是那些铭刻于头脑中的数学思想、思维方式、学习方法以及研究问题科学的态度、习惯等都将伴随着学生一生，并使学生终身受益，因此在课堂教学中，教师不仅要让学生学会继续深造所必需的基础知识、基本技能、基本方法和基本思想，同时还要在教学中让学生经历思维产生的过程，培养学生用数学思维去观察、分析、思考问题，培养学生终生学习的能力. 下面结合本人在教学实践中是如何培养提升学生的思维能力、关注学生能力发展方面谈些肤浅的认识.

[⇩] 情境教学，寻找思维源泉

建构主义学习理论认为，学习总是与一定的知识背景，即“情境”相联系，在实际情境下进行学习，可以使学生利用已有知识与经验同化和索引出当前要学习的新知识，这样获取的知识不但便于保持，而且易于迁移到陌生的问题情境中，同时情境教学也有利于培养学生主动观察生活、积极思考问题的习惯，通过情景搭建思维的平台，让学生体验到思维的价值，找到思维开发的源泉.

例1 在《基本不等式≤》一课教学中就可以通过创设以下情境引入：把一个物体放在天平的一端上，在另一端放上砝码使天平平衡，称得物体的质量为a. 但如果天平的两臂长略有不同，则a并非物体的真实质量，这时我们可以考虑做第二次测量：把物体调换到天平的另一端上，此时称得物体的质量为b，那么有人认为物体的质量为，你认为合理吗？若合理请说明理由，若不合理则比物体真实的质量是大还是小？你能用几种方法说明它们之间的大小关系？（可以用比较法、分析法、综合法、数形结合法等）

学生在情境的引领下，点燃了解决问题的兴趣，思维就如涌泉之水被激发出来.

[⇩] 过程教学，激发思维潜能

荷兰教育学家弗赖登塔尔指出，学习数学的正确的方法是学生的“再创造”，即由学生把要学的数学知识自己创造或发现出来. 教材的定理、公式、法则等都是前人探索、研究的成果，仅仅让学生机械的记忆、简单的运用显然是不够的，教师应学会用教材“教”，而不仅仅是“教”教材. 人民教育出版社新编的A版教材在《二倍角的正弦、余弦、正切公式》、《等比数列》等课的编写中就已经有了很大的改进，课文中就出现了许多空白的方框（让学生自己发现公式），此时教师在教学过程中应充分展示知识的产生、发展过程，让学生在经历、冲突、体验中发展思维，在“发现”中激发学生的思维潜能，提升思维水平，促进学生能力的发展.

例2 在《等比数列前n项和》一节教学中，可采用在古印度发明国际象棋之后国王奖赏发明者故事的引领下，引导学生提出并探究问题：如何求S=1+2+22+23+…+263的值？虽然教学中课堂时间紧，但若急急忙忙地就抛出“错位相减法”后进行实题训练，这样显然有违了学生的认知规律，不仅不利于学生思维的培养，也不利于知识的记忆，教师可紧紧抓住教材的特点，充分利用教材引导学生积极思考，主动发现并归纳总结.

问题1：式子S=1+2+22+23+…+263①的右边有什么特点？

学生：是公比为2的等比数列的前64项的和.

问题2：如何求①式的值？

让学生先观察、分析、思考，几分钟之后教师再引导学生类比等差数列前n 项和公式中用首项与公差，或首末两项来表示公式的特点探究等比数列前n项和公式的推导过程.

问题3：如果把上式①的两边同时乘以公比2，能得出一个怎样的式子？

学生：2S=2+22+23+…+263+264②.

问题4：观察①、②两个等式，它们有什么特点与联系？这对求S的值有什么帮助？

学生：①、②两个等式有很多相同的项，如果将两式相减可以消掉，得到一个仅与首末两项有关的简单的关系式： -S=1-264，所以S=264-1.

问题5：如何求等比数列{an}的前n项和Sn的值？

学生：Sn=a1+a1·q+a1·q2+…+a1·qn-1=a1·（1+q+q2+…+qn-1）.

问题转化为先求Tn=1+q+q2+…+qn-1的值，这与式子①的解决方法一致.

学生在问题的启示下，体会通过等式两边同时乘以公比q并将两式相减达到求同存异、消除差异，从而经历、体验、领悟求等比数列前n项和的方法——错位相减法，这种由特殊到一般也符合学生的认知规律，学生也能在“发现”中提升思维水平.

[⇩] 变式教学，强化思维深度

心理学研究表明，凡是对比强烈、明显，不断变化的事物以及与已有知识经验有密切关系的事物都容易引起学生的兴趣与思考，因此课堂中实施变式教学无疑吻合这一特点. 通过变式教学，对调动学生学习的主动性、激发学生的求知欲望和进取精神具有积极的作用，它有利于培养学生思维的灵活性、严密性和深刻性，有利于培养学生思维的深度与广度，促进学生能力的提高.

例3 在《双曲线及其标准方程》的概念教学中，在学习双曲线的定义“平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数（小于

F1F2

）的点的轨迹叫做双曲线”以后，可以通过变式教学，编写如下一组题目，以达到深化概念，强化思维深度，从而提高对双曲线概念的理解与认识.

问题1：若将定义中的“小于

F1F2

”变为“等于

F1F2

”，其余不变，则点的轨迹是什么？（点的轨迹是分别以F1、F2为端点的两条射线.）

问题2：若将定义中的“小于

F1F2

”变为“大于

F1F2

”，其余不变，则点的轨迹是什么？（点的轨迹不存在.）

问题3：若将定义中的“绝对值”删掉，其余不变，则点的轨迹是什么？（点的轨迹为双曲线的一支.）

问题4：若将定义中的“常数（小于

F1F2

）”改成“常数零”，其余不变，则点的轨迹是什么？（点的轨迹为线段F1F2的中垂线.）

问题5：若将定义中“小于

F1F2

”去掉，其余不变，则点的轨迹是什么？（体现分类讨论思想，其实就是上面各种情形.）

问题6：若将定义中“差的绝对值等于常数（小于

F1F2

）”改为“和等于常数”，则点的轨迹是什么？

在本节教学中，为了使问题更加直观、形象、生动，也可以借助信息技术，动态地体现曲线的变化过程，通过直观感受、操作确认、对比等方法有效地完成概念教学，以强化思维的深度与广度.

[⇩] 实践探究，升华思维品质

苏霍姆林斯基曾说：“在人的心灵深处都有一种根深蒂固的需要，这就是希望自己是一个发现者、研究者、探索者.” 将数学与生活联系起来，通过数学问题生活化，生活问题数学化，进行实例探究，如：上课时，坐在什么位置才能最轻松地看到黑板上的板书？吊灯挂的高度对房间照明度有怎样的影响？窗户面积与采光量有怎样的关系，若同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好还是变坏了？包装盒如火柴、香烟等为什么多是长方体形式包装？通过问题强化学生的应用意识，让学生在探究中体验到学习的快乐，升华思维的品质，促进能力的提升，实现数学可以让生活更美好的愿望.

例4 在必修2《球的体积V=πR3》的教学中，除了可以采用教科书中直接给出体积公式外，也可以利用教科书探究与发现“祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积”中介绍的祖暅原理导出体积公式，也可以利用极限思想得出球的体积（高一学生可暂不介绍），还可以如下通过多媒体演示实验的方法探究得出球的体积公式.

问题1：由球的几何结构特征可以猜想：球的体积与什么量关系密切？（球的半径.）

问题2：由圆的周长C=2πR，圆的面积S=πR2，圆柱的体积V=πR2·h，以及圆锥的体积V=πR2·h等公式，可以猜想球的体积表达式可能是关于R的一个什么样的式子？（三次方式子，如V=k·R3的形式，其中k是与π有关的常数，这里设圆的半径、圆柱、圆锥底面圆的半径与球的半径都为R.）

问题3：如何确定k的值？（可以通过实验“将球放入盛满水的容器中，排出的水的体积就是球的体积”，改变R的大小，通过多次实验估算出k的值.）

问题4：为了便于将球容于圆柱中，可以取圆柱、圆锥的高都为2R，通过实验发现，圆柱中剩下的水正好可倒满圆锥，从而发现：

V球=V圆柱-V圆锥=πR2·2R-πR2·2R=πR3

运用这种方法探究，教师没有将公式直接告诉给学生，而是通过类比、联想、实验，让学生经历了直观感知，类比猜想、实验发现等思维过程，增加了思维的灵活性，提升了思维的迁移能力，使数学学习真正成为学生“思维发展”的平台.

[⇩] 渗透思想方法，提升思维策略水平

数学思想和方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴涵在数学知识的发生、发展和应用过程中，是对数学规律的理性认识，是数学的灵魂，是思维结果的一种形式，带有一般意义和相对稳定的特征，由于它内涵的深刻性和外延的丰富性，需要在长期的思维活动中逐步体会，并形成意向和观念，此意向和观念又可以反过来潜意识地影响思维的策略水平，因此在教学中要加强对学生数学思想方法的渗透，这将有利于学生思维水平的整体提升.

例5 在空间向量的教学中可引导学生运用类比思想，让学生经历向量及其运算由平面向空间推广的过程；在复数的教学中，可以通过类比实数、向量等运算性质探究复数的运算性质；可以将等差数列与等比数列、圆与椭圆、椭圆与双曲线等进行类比，发现两者的异同点，这都将有利于学生合情推理思维能力的培养和提升. 在解析几何教学中，让学生体会其本质是用代数方法研究图形的几何性质，体现了数形结合的数学思想；由三角公式cos（α+β）=cosα·cosβ-sinα·sinβ推导出C（α-β）、S（α±β）、T（α±β）、S（2α）、C（2α）、T（2α）公式过程中便体现了化归思想；在立体几何“柱、锥、台体的侧面积”教学中，可应用多媒体辅助教学，通过“展开法”把空间曲面转化为平面图形的面积来求解，也渗透了化归思想和方法；在等比数列前n项和公式的推导与应用、解含参数不等式中就常体现分类讨论思想；在解决直线与圆位置关系时就常用函数与方程思想、数形结合思想两种解题策略.

当然，对学生思维能力的培养并不是一朝一夕就能解决、提高的事情，这需要教师在教学中有意识的渗透和培养，通过对教材的合理处理，让学生不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程，突出以人的发展为目的的教学，促进学生思维水平的提高，培养提升学生终身学习的能力.