试题探究圆锥曲线问题的分类讨论

何燕

摘 要：圆锥曲线中的定值问题，一直是高考的热点问题，在各大市的调研考试也是常客. 描述高考试卷和相关调研试卷，不难发现要求的定值有时是直线斜率，有时是线段的长度，有时跟向量结合，有时又是某个具体的代数表达式. 但将其归纳分类不外乎几何量为定值、向量数量积为定值、代数表达式为定值等几类问题.

关键词：圆锥曲线；定值问题；分类讨论

定值问题作为圆锥曲线中的一个重点和难点题型，往往出现在圆锥曲线题目的第二问或者第三问. 其实突破这个难点的解题思想就是很简单的一句话：利用函数思想，将待求问题直线方程、向量数量积、比例关系表示成变量的表达式，这个表达式通过化简变形后，得到一个与变量无关的值，即定值.

在实际的处理定值问题时，学生们遇到的定值问题往往又可以分类成代数表达式为定值、向量数量积为定值、几何量为定值等不同的类型，这或许是掣肘学生们在实际操作中攻克这一难题的重要因素. 因此，有必要对圆锥曲线中定值问题的具体类型做一个明晰的说明.

[?] 代数表达式为定值

在代数表达式为定值这一类型的问题中，常常会涉及线段长度或者直线斜率，典型的代数表达往往有两线段长度的和或差；两线段长度的积或商；两线段长度的平方和或倒数的平方和以及斜率乘积为定值等等. 如下以宿迁市2015高三第一调研考试为例.

例1 如图1，在直角坐标系中，已知椭圆C：+=1，设R（x0，y0）是椭圆上的任意一点，从原点O向圆R：（x-x0）2+（y-y0）2=8作两条切线，分别交椭圆于P，Q. （1）若直线OP，OQ互相垂直，求圆R的方程；（2）若直线OP，OQ的斜率存在，并记为k1，k2，求证：2k1k2+1=0；（3）试问OP2+OQ2是否为定值？若是求出定值，若不是说明理由.

解析：此题是一道典型的代数表达式为定值的问题，而且同时涉及斜率和线段长度的代数表达式，文章以第三小问为例试阐述这类问题的解决方法. 要求OP2+OQ2为定值即它的值与某个变量无关，那么首要的问题就是确定这一变量，将上述表达式用这一变量表示出来. 通常可借助于点的坐标，再证明表达式的值与所设坐标无关. 通过问题二可以发现无论OP和OQ如何运用，其斜率之积总为-，因此可以从k1或k2入手，找出所设横纵坐标之间的关系.

反思：将OP2+OQ2转换成点的问题后，以点在椭圆上，点的坐标满足椭圆方程为桥梁，构造出目标表达式中的部分内容，以整体的方式求出y+y和x+x的值，这是典型的设而不求的方法. 本题亦可以采用交轨法，以OP或OQ的斜率为中间变量，将点P和点Q的坐标用斜率表示出来，再将待求表达式亦用斜率表示，最后化简成与斜率无关的的值.

[?] 向量数量积为定值

在向量数量积为定值的这一类问题中，显然点是解决问题的桥梁，因为要将解析几何中将向量数学积表示出来往往运用的是坐标表达式，而不是定义表达式，故而这类问题亦可转化成点的问题来解决. 如下以苏锡常镇宿五市2015届高三第一次调研试卷为例，探究如何通过点来突破向量数量积为定值.

例2 如图2，在平面直角坐标系中已知椭圆C：+=1（a>b>0）的离心率为，且经过点

1，

，过椭圆的左顶点A作直线l⊥x轴，点M为直线上的动点（点M与点A不重合），点B为椭圆右顶点，直线BM交椭圆C于点P.

（1）求椭圆C的方程；

（2）求证：AP⊥OM；

（3）试问·是否为定值，若是求出定值.

解析：（1）易得椭圆方程：+=1，（2）略.

由于A点坐标为（-2，0），因此可设直线AP的斜率为k，利用交轨法将P点坐标求出来，再以AP⊥OM为桥梁将M点坐标也用k来表示，由此两点坐标，即可写出·关于直线AP斜率k的表达式.

反思：这是典型的交轨法解题，这种方法处理起来思路比较清晰，目标比较明确，但有其计算复杂的缺陷；当然也可直接设P点坐标，利用垂直关系将M点坐标也用P点坐标来表示，再化简，但这种设而不求的方式虽省去了纷繁复杂的计算，但却因涉及太多的未知数，而将学生置于思维混乱的状态.

[?] 几何量为定值

对几何量为定值这一类问题，常常会关注到的几何量包含斜率、线段长度或点到直线的距离等一些内容.下面将以苏锡常镇四市2014届高三第二次调研考试中点到直线距离是定值为例进行简单的说明.

例3 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+y2=1的左、右焦点分别为F′，F，圆F的方程为：（x-）2+y2=5.

（1）设M为圆F上一点，满足 ·=1，求点M坐标；

（2）若P为椭圆上任意一点，以P为圆心，OP为半径的圆P与圆F的公共弦为QT，证明：点F到直线QT的距离FH为定值.

解析：（1）略.

（2）要求点到线的距离为定值，首先需要将点到直线的距离表示出来，从题设出发，不难发现点已知，因此问题的关键在于将直线方程表示出来. 显然动直线QT是两圆公共弦所在直线，故而，交轨法可求出动弦所在直线方程.

设P点坐标为（x0，y0），则动圆P的半径为r=，则动圆P的标准方程可表示为（x-x0）2+（y-y0）2=r2，记为①式；定圆F的方程为（x-）2+y2=5，记为②式，将①式与②式作差，可得动弦所在直线方程为：（x0-）x+y0y-1=0.

又点P在椭圆上，所以y=1-，因此点F到直线QT的距离FH===2.

反观上述几类定值问题的解题过程，可以发现无论是几何量，还是向量数量积，抑或是代数表达式，它们一定是与某些点有关，故而点可以作为解决这几类定值问题的桥梁. 所以，在处理定值问题，通常的处理手段是将待研究的问题转化成研究曲线上点的问题. 在解决点的问题时常用设而不求法或交轨法. 因此，在处理定值问题时呈现出了两种不同的方法样态：其一，设点但不求出坐标具体值，而是利用点在曲线上，则点的坐标满足曲线方程这一特性加以处理；抑或者可以利用交轨法，将有关的点看成是两条曲线的交点，联立成方程组，将各坐标求解出来处理. 而两种方法从思维的难易角度上讲，交轨法往往是更为常规的手段，因为在设点坐标求解时由于引入了过多的参数，易造成学生思维的混乱；而利用交轨法求解时则是以韦达定理为桥梁，以直线的斜率为中间变量表示各点的坐标或坐标之间的关系，这种处理方式由于参数的单一性，可以使思维运转起来条理性更清晰.