一题多解一例

徐丹

摘 要：学生一题多解的能力体现了他的思维能力及水平.现在的高考注重高效，即在有限的时间内尽可能准确地完成试题. 本文就高中数学解几中的一例常见题，引出一题多解的有效性和必要性，希望学生在学习的过程中不要一味追求结果，而是更加注重解出的过程，并加以提炼解法的优劣，对今后的学习有所帮助.

关键词：高考；一题多解

高考，对于重点知识的理解、调动、应用能力要求很高，学生能否在短时间内找到最适合的一种方法和方向是学生在考试时能否取得成功的关键. 数学的问题从解法来分就是两类：一类方法唯一，多题一解；一类方法两种或两种以上，一题多解. 不管哪种情况，都建立在对知识的理解透彻、掌握内在联系的基础上. 本文就一道简单的小题入手来分析其所蕴涵的多个知识点、多种解法，来体现数学知识间的内在联系与其数学魅力，以及对于有关问题的简单延伸，提升学生知识的选择运用能力、剖析学生解题的困难点.

题例：已知过点P（1，8）的直线l与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，求：

①S△AOB的最小值；

②直线l在x轴正半轴、y轴正半轴上截距之和的最小值；

③AP·BP的最小值；

④距离AB的最小值.

由于篇幅问题，在此仅例举问题①的五种解法.

其次：法一、法二是求①常规解法.这两种方法还用在②③；法三使用①、③，属平几解法；法四和法五实质是一样的，θ与α互补. 但求①法四简单，法五烦琐. 求解①的过程各方法全部用到基本不等式求最值，特别是法二求解时特别体现了“乘1法”和“拆凑法”.

再次：碰到④，基本不等式甚至二次函数法都不能解决了，现行教材导数的学习就解决了以前求解AB长度的困难.五种设法都要用到求导的方法.对于理科班的学生可以通过法五来理解直线的参数方程，总的比较起来，后两法（用角度设法）比前两法简洁，设长度其次.

导数的内容进入高中，在原来以二次函数区间上求最值及基本不等式求最值、三角函数求最值的基础上，添上了亮彩的一笔！很多原来比较困难的问题，或简洁或迎刃而解. 而直角三角形有关问题可用设其中一个锐角来表示其他量！

引例是一道常见的基本的解几直线问题. 新教材、考试大纲对直线和圆部分的要求是C级——掌握. 新课程标准对掌握、应用、迁移的解释是掌握、导出、分析、推导、证明、研究、讨论、选择、决策、解决问题，也就是能进行综合应用.在平面解析几何初步的教学中，教师应帮助学生经历如下的过程：首先可考虑将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题并处理代数问题；分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题.这种思想应贯穿平面解析几何教学的始终，帮助学生不断地体会“数形结合”的思想方法.

本文举的基础例子是结合了代数（三角、向量）、解析几何，平面几何的和谐统一的一个小题. 当然从填空题的角度来说，有时特殊值法也是很好的方法. 方法的选择会便于学生找到解题的捷径，节约大量的时间，避免繁杂的运算，亦可以触类旁通，达到多题一解的效果. 解题过程是思维活跃的过程，是智慧火花闪耀的过程. 在实践中使学生不怕解题，敢于解题，善于解题是我们应该重视的.

下面举例体会方法的选择对于解题和学生成功的帮助.

例如：过已知过点P（1，8）的直线l与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，则距离AB的最小值为__________.（选自镇江市2009届高三第三次调研测试—14）

简析：不管是学生求解还是评讲的时候，学生都对点斜式和截距式敬而远之，其中带根号的运算和烦琐的AB的表达式让他们望而却步.

比如用解法一可得AB=+，

之后的处理对学生来说比较困难：被开方数写成多项式形式；求导分解因式（即的得出）. 因为k<0，所以k=-，可证得它是极小值点也是最小值点，得到AB最小值为8.

但若用法四，则较易化简：AB=g（θ）=+，对θ求导得：g′（θ）= -+，易得极小值点即最小值点tanθ=，θ=，进而得结果.

若用AC=x（x>0），则根号所产生的解题困难就消失了：

AB2=

2+（x+9）2=不再出现，接下来的处理同点斜式法，当x=3时AB取得最小值8.

又如：在直角三角形ABC中，斜边AB长为1，E为AB的中点，CD⊥AB于D.

（1） 求证：△CDE的面积不大于. （2）求（·）·（·）的最大值.

虽考试中现已很少要求一题多解，但实际上在学习的过程中一题多解的思路万不能少. 我们应熟练掌握某种题型的多种解法，特别是一些通法，这样在解题的过程中才能更好地比较优劣，更好地思考，在以后的解题中能有很多的经验，试一种不成功能马上转换另一种甚至更多种. 当然多种解法还能检验你选择的某种方法是否正确与最优.

一题多解能力的养成也并不一蹴而就，需要平时的积累、思考和感悟. 这样，你的逻辑思维能力在量到质的影响下应能速速提高.