发现式学习在高中数学教学中的应用

张宏鹏

摘 要：发现式学习法是布鲁纳倡导的，其目的在于用科学家的培养模式来组织教学，学生在课堂上不是接受知识，而是成为知识的发现者和创造者，这样的教学理念与新课程相符合，与当今社会对创造性人才的需要相符合.

关键词：发现式学习；数学教学；创造

高中数学“发现式”教学的本质是什么？是数学知识和数学问题的“再发现”，虽然说发现和解决的都是数学知识体系中的老问题，但对学生而言，这些知识和问题都是“新”的，需要学生投入大量的思维活动；虽然“再发现”与严格意义上的创造有较大的差别，但是笔者认为只有学生的“再发现”积累到一定程度，才能促进创造性思维发生质变，最终达到发明、创造的水平和高度. 本文首先谈一谈发现式高中数学学习的流程，接着结合具体的实例就环节设置进行分析.

[?] 发现式高中数学学习的流程

有序的课堂才能催生出高效，发现式高中数学学习在课堂组织上有如下几个流程.

[?] 发现式高中数学学习的环节设置

1. 创设问题情境

“问题”是学习和思考的起点. 每节课都有特定的教学目标，我们应该紧绕教学目标采用多元化的方式进行问题情境的创设，如从现实生活中取材整合教学资源，或者利用教具、媒体创设形象化的问题情境，或是布置一定的活动任务引导学生课前预习提出问题，基于学生生成的问题，选择改造有价值的问题作为课堂的生长点.

2. 组织学生活动

问题情境的创设旨在启发诱导学生的思维，调控学生思维走向，帮助其形成整体思路，在问题的引导下，学生实施对比、联想、观察、归纳等具体活动，通过具体的活动抽象、概括出有价值的、可转换的、操作的、具体的假设，为接下来的引导探究发现环节打下基础.

例如，“椭圆的定义及标准方程”教学，设置了生活化的情境引导学生活动，促进问题的生成，完成导入.

情境1：借助于PPT展示“嫦娥一号”卫星运行的椭圆形地球同步运行轨道；

情境2：将一只水杯倾斜投影出水的边界的形状.

借助于情境1和情境2，学生观察后发现“椭圆”，那么，生活中还有哪些椭圆的例子呢.

情境3：用PPT展示手机按键，椭圆形果盘、图章等日常生活中常见的椭圆.

借助于情境3，学生发现生活中“椭圆”无处不在.

3. 引导探究发现

以生为本的课堂学习过程应该是教师设置问题引导学生探究发现的过程.在发现式学习模式下，引导探究发现的环节，学生或独立思考，或小组合作，或组间交流讨论，教师充当好学生探究过程的促进者和引导者，促进每个学生在探究过程中有所发现，有所进步.

例如，“椭圆的定义及标准方程”教学中对于“椭圆的定义”，笔者引导学生完成如下探究发现活动.

教师演示：笔者借助于一根粗线绳、一个白色泡沫板、两个图钉，给学生演示画椭圆.

设计意图：通过教师的演示激发学生动手实践的兴趣，体验亲自画椭圆的过程，再借助于问题，引导学生发现.

问题1：同学们在画图的过程中同时注意观察椭圆上的点具有什么样的特点？将自己的发现表达出来.

问题2：你能描述出满足什么条件的点的轨迹是椭圆吗？

设计意图：问题1、问题2引导学生得到并不完整的“椭圆的定义”.

问题3：尝试着将绳子缩短一点，看一看能够得到什么图形？如果继续再短一点呢？会有什么发现？

设计意图：引导学生在实践中发现椭圆越来越扁.

问题4：当绳子短到什么情况下，你就无法画出椭圆？

设计意图：引导学生在实践中发现当绳子的长度等于两个图钉点间的距离的时候.

问题5：这时你看一看能够得到什么图形？

设计意图：引导学生在实践中发现以图钉所在点为端点的线段.

问题6：假设绳长比两图钉间的距离小，则点的轨迹会是什么样的？

设计意图：此时轨迹不存在.

将上述几个问题的发现结果进行总结，学生在实践的过程中步步深入，最终得到椭圆完整的定义.

4. 构建数学理论

构建数学理论是在前面发现基础上的抽象与概括，当然这个过程中也需要我们教师通过问题的引领构建数学理论.

例如，推导椭圆的标准方程是本节课的重点，如何引导学生发现并构建数学理论呢？笔者进行了如下的尝试.

问题1：求曲线的方程的一般步骤是什么？

设计意图：帮助学生联系已有认知，得出建系→设点→列式→化简→证明.

问题2：怎样建立直角坐标系才能使运算和方程更简便？

设计意图：通过问题2的引领，学生以学习小组为单位进行探究、互动、交流，最后对学生的探究成果进行展示，一般学生能够探究得到如下几种成果（见表1）：

设计意图：学生通过自己画图操作能更深地理解建系的原则，效果比由教师直接告诉他们如何建系好很多.学生同时也理解了焦点在x轴上和焦点在y轴上的标准方程的区别.

同时新的问题生成：上述结论能不能表示成比较整齐对称、简洁的方程形式呢？

发现1：学生讨论后认为（a2-c2）x2+a2y2=a2b2较为简洁.

这个时候学生要想再有新的发现需要教师的引导：如果我们令b2=a2-c2，那么，我们能够得到什么方程呢？

发现2：学生自主探究，可以得到焦点在x轴上的椭圆的标准方程：+=1（a>b>0）；根据对称性发现焦点在y轴上的椭圆的标准方程：+=1（a>b>0）.

5. 尝试数学应用

数学应用是我们教师选择具体的例题引导学生在解决例题的过程中完成知识的内化和方法的沉淀. “椭圆的定义及标准方程”新授课在学生完成上述发现后，笔者设计了如下几个例题.

例1 判断下列椭圆的焦点在x轴上还是y轴上，并写出焦点坐标.

例2 已知椭圆两个焦点的坐标分别为（-4，0），（4，0），椭圆上一点P到两焦点的距离的和等于10，求这个椭圆的标准方程.

例3 已知椭圆两个焦点的坐标分别为（0，-2），（0，2），且椭圆经过点

-，

，求这个椭圆的标准方程.

例4 已知B，C 是两个定点，BC=6，△ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹方程.

设计意图：通过上述4个例题的设计，引导学生运用椭圆的定义和标准方程进行问题的解决，提高应用数学知识和分析数学问题的能力.

6. 总结回顾反思

笔者在用发现式学习组织高中数学课堂时，最后总会对自己的教学进行回顾和反思. 反思自己在问题情境设置的难易程度是否合适，教学资源的选取是否具有趣味性、实践性和可操作性. 能否有效激活学生的情感，学生在课堂探究过程中是否有探究的强烈欲望.具体到本节课，笔者反思和回顾如下：

（1）本节课在引导学生学习椭圆的定义时，设计了让学生切身体验椭圆的形成过程的活动. 通过把绳子的长度缩短，学生画出了的不同的图形，让学生自己发现开始给出的定义的不完整，在作图的过程中不断地把定义补充完整，实质上这就是发现法. 这样发现的结果会使学生形成深刻的记忆.

（2）在推导椭圆方程的过程中，文科生的思维缺点和解决问题能力上的欠缺便会暴露出来. 文科学生学习的依赖性较强，满足于按部就班的训练. 一旦让他们自己选择建系方法，并求出含有两个参数的曲线方程，会让他们中的一部分学生觉得很困难，这时教师要及时给予适当的指导，否则会加重他们的焦虑.

（3）采用发现教学法在时间上耗费较大. 本节课在规定的40分钟课堂教学时间并没有进行完预先设计的全部教学内容. 在今后的教学中若采用发现教学法，要注意内容与实践的调整，可以进行部分发现或者讲授法与发现法相结合以提高课堂效率.