例谈解析几何中的算法优化

谢舒

摘 要：解析几何是中学数学教学的难点和核心知识，但是解析几何中令人生畏的运算使得学生往往在应试中无法取得高分，难道解析几何真的这么难吗？让我们从新的视角来看看如何进行解析几何教学.

关键词：解析几何；数学；算法；优化；定义

解析几何是中学数学教学的重点和难点，从大多数学生学习解析几何的情况来看，本章节的知识明显与其他章节差别显著. 从解析几何初学到高三复习、到最后参加高考应试，我们往往有这么一种感受，学生的解析几何解答题能力并没有大幅提升，其在初学时不会做的直线与圆锥曲线位置关系的热点问题，在历经一个学年的复习，依旧是原地踏步，没有提升.从国内较大的数学BBS中，我们常常可以看到这样的学生留言：椭圆大题直接放弃，反正做了这么多，从来也没有做对过！圆锥曲线解答题还是算了，太繁了，这个分数还是不要了，省出时间把其他的题目做好吧！

作为教师，看到这样的话语的确感到无奈. 解析几何是用代数的方法研究几何的学科，大量的问题首先需要从几何的角度去分析、用坐标的方式去阐述，这是一条基本的思路. 从大量研究和文献表明，解析几何对于学生而言难学的原因不外乎下列几点：

1. 学生遇到一个解析几何问题，往往缺乏其几何图形的思考，为了追求应试的得分，越来越多的学生将解析几何问题形成宁要百分之五十的套路分（诸如联立、韦达定理等模式化的步骤），也不愿多思考更深层次考查的几何背景.

2. 近年来圆锥曲线教学越来越功利化，这与高考应试难度愈来愈大有一定关系. 几何本是一大套定义、定理紧密结合的学科，但是其抽象度不言而喻，为了顺应应试，教学中往往没有更多的时间让学生去感受、理解这些定义、定理产生的过程，因此只能靠背、模式化，这样的方式应对解析几何教学实属无奈，很多学生连椭圆、双曲线、抛物线等为何称之为圆锥曲线都不明了.

3. 一方面，算法的拙劣、运算的复杂，这对于学生而言是最能感受到的实际困难. 解析几何问题动辄都是二元二次方程，其对运算的要求一下提高了很多，学生对于这方面的运算积累是比较少的. 另一方面，不仅仅是运算能解决的问题，即还要关注算法的优化，有些问题都有典型的几何背景、定义运用，但是学生若不能找到合理的算法，往往在复杂的道路上越走越迷失，导致其学习解析几何陷入无法提高的泥潭. 考虑到诸多因素的限制，本文从最后一方面，即算法优化的视角，例谈如何优化解析几何中的运算.

[?] 定义运用为本

定义是圆锥曲线最核心的知识，笔者发现很多学生对基本定义根本无法掌握和理解. 笔者就椭圆、双曲线、抛物线为何称之为圆锥曲线请学生回答，令笔者诧异的是全班五十余人没有一个学生知道为何这么称呼. 可见，解析几何教学是如何的功利化.

分析：本题是某次测试时用的一道考查定义的问题，令笔者诧异的是，有些学生在解决这样的定义型问题根本没有基本头绪，在距离公式等烦琐的思路上浪费时间，教师引导学生优化问题的算法，恰是以双曲线定义出发的，本题考查双曲线的定义及性质：P是双曲线C上一点，于是有

所以△PF1F2为直角三角形，易知最小角的正弦值为. 笔者以为，解析几何小题在教学中要多多引导学生去思考椭圆、双曲线、抛物线的定义，从定义去优化问题的解决，不失为小题解决的一大利器.

巩固尝试：1. 点P是双曲线-=1（a>0，b>0） 上一点，F是右焦点，且△OPF是∠OFP=120°的等腰三角形（O为坐标原点），则双曲线的离心率是__________.

2. 设双曲线-=1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e，过F2的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则e2=__________.

[?] 设而不求为主

解析几何难的一个原因是其运算难度，包括合理选择优秀算法，并不是每个学生能够掌握的. 教师在问题的指导教学中，要利用合理的引导，指导学生掌握合理优秀的算法才能优化解析几何的运算.

例2 过x轴上一动点A（a，0）引抛物线y=x2+1的两条切线AP，AQ，P，Q为切点，设切线AP，AQ的斜率分别为k1和k2.

（1）求证：k1k2=-4；

（2）试问：直线PQ是否经过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由.

（1）解法1：设过A（a，0）与抛物线y=x2+1的相切的直线的斜率是k，则该切线的方程为：y=k（x-a）. 由y=k（x-a），

y=x2+1得x2-kx+（ka+1）=0，所以Δ=k2-4（ka+1）=k2-4ak-4=0，则k1，k2都是方程k2-4ak-4=0的解，故k1k2=-4；

解法2：如上得：x2-kx+（ka+1）=0，所以Δ=k2-4（ka+1）=k2-4ak-4=0，于是有

k=，即k1=2a+，k2=2a-，故k1k2=-4.

（2）解法1：设P（x1，y1），Q（x2，y2），故切线AP的方程是：=x1x+1，切线AQ的方程是：=x2x+1，又由于A点在AP、AQ上，则=x1a+1，=x2a+1，所以y1=2x1a+2，y2=2x2a+2，则直线PQ的方程是y=2ax+2，则直线PQ过定点（0，2）.

解法2：因为kPQ==x1+x2，所以直线PQ：y-x-1=（x1+x2）（x-x1），

由（1）易得PQ：y=（x1+x2）x-x1x2+1=2ax+2，所以直线PQ经过定点（0，2）.

说明：本题在算法选择上分别就各小题给出了两种解法，但是从优化算法合理性的角度来说，第（1）小题法1是最为合理的使用方式，法2是很多学生选择的方式，但是这种缺乏设而不求思想的解法自然是不合理的算法，教师要引导学生摒弃. 但是对于第（2）小题的解决有着极为合理的选择，是一种通用的算法，也值得教师向学生渗透.

[?] 特殊性质为辅

解析几何有很多特殊使用的结论和性质，这些性质对于问题的解决有着极为方便、快捷的作用. 对于优秀学生，掌握一些特殊的性质和结论是熟练解决圆锥曲线难题的重要方式.

例3 如图1，一个半径为2的球放在桌面上，桌面上的一点A1的正上方有一个光源A，AA1与球相切，AA1=6，球在桌面上的投影是一个椭圆，则这个椭圆的离心率等于__________.

解：如图2，过A，O两点的截面截球交底面于DE，AA1，AD与球切于C，C′，DE与A1A2交于F点，易知内切球半径为2，作截面AA1A2，观测图3，

在△ACO中，tanθ=tan∠CAO==，则：tan2θ===tan∠A1AA2，可得：A1A2=8，AF==3. 如图4，△ACO≌△AC′O，△AC′O∽△AFD，得：=?DF=，以椭圆中心为原点，A1A2为x轴，B2B1为y轴建立直角坐标系，如图5所示，易知：F

-1，-

，代入椭圆方程+=1，得c=2，故椭圆离心率e=.

性质1：平面α截圆锥得该曲线离心率e=.

证明：MF1与MN均为球切线，故MF1=MN，M到定直线l的距离为MQ，由圆锥曲线第二定义可知：e====为定值.

说明：即动点M到定点F的距离与到定直线l的距离之比为定值，该定值与平面α与圆锥底面的二面角θ、圆锥母线与底面的线面角大小有关.

（1）当θ=0时，e=0，平面α截得曲线为圆；（2）当θ=φ时，e=1，平面α截得曲线为抛物线；

（3）当0<θ<φ时，01，平面α截得曲线为双曲线.

性质2：当0<θ<φ时，平面α与两球的切点F2、F1即为所截得椭圆的焦点.

证明：由性质1证明过程可知MF1=MN，同理：MF2=MP，故MF1+MF2=MN+MP=NP为定值，由椭圆第一定义可知F2、F1为两焦点.

运用性质1，我们可以优化解答图1中问题. 如图6，将A看成圆锥顶点，椭圆面A1B2A2B1看成圆锥截面，过切点C、D作与底面平行的截面α，截得的曲线为圆，易知此时圆锥母线AC与圆锥底面所成角即为∠ACM=φ，截面α与椭圆面A1B2A2B1所成二面角为∠MCO=θ，由性质1，该椭圆离心率e=，Rt△ACM中，AC=4，CO=2，可得：AM=，MO=，因此e===.

总之，解析几何中复杂问题的算法选择需要运算经验的积累的，本文笔者以自身对于解析几何问题的认知做出了定义方式为本、设而不求为主、特殊性质为辅的算法优化方式，进而优化解析几何中的运算.