Boussinesq equations的新的精确解

李 伟

(渤海大学 数理学院，辽宁锦州 121013)

非线性偏微分方程(组)的解法受到如数学、物理学、工程学和生物学等各个学科工作者的广泛重视，为了寻求它们的解法许多科学家做了大量而有益的工作，同时得到了一些行之有效的求解方法，如分离变量法、反散射方法、Backlund变换法、Darboux变换法、tan h函数法、Riccati方程法等［1－5］。本文借助于行波变换法［6］、改进的双曲函数法［7－8］和齐次平衡法［9－10］获得了 Boussinesq equations 的新的精确解，Boussinesq equations如下:

首先，假定式(1)有如下形式的解:

k是待定常数，将式(2)代入式(1)整理化简得:

对式(3)积分，积分常数取零，式(3)变为:

利用改进的双曲函数法，假定式(4)有如下形式的解:

M1，M2是待定的正整数，ai，(i=0，1，2，…，2M1)，bi(i=0，1，…，2M2)是待定常数，φ(ξ)是一个函数，满足Riccati方程，即:

P，Q是任意常数，式(6)有如下形式的解:

若 PQ＜0，

C是常数。

借助齐次平衡法，得到方程组:

解得:M1=2，M2=1

因此，式(5)的具体形式为:

将式(6)和式(9)代入式(4)，得到方程组:

令 φi(ξ)，(i=0，±1，±2，±3)的系数为零，得到关于 ai(i=0，±1，±2)，bi(i=0，±1)和 k的代数方程组，即:

经过大量的运算，求得如下形式的解:

将式(7)，(9)和(12)代入式(2)，就得到式(1)的新的精确解，即:

本文利用行波变换法、改进的双曲函数法和齐次平衡法获得了Boussinesq equations的新的精确解。本文的方法也用于解其他非线性偏微分方程(组)，另外精确解的获得将为近似计算、定理分析等问题提供必备的基础。

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