三角函数定积分的四种求解方法

裴琴娟

【摘要】文章给出了求解三角函数定积分的三种求解方法

【关键词】 换元法 对称法 待定系数法

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）07-0215-01

Four methods of solving definite integral trigonometric function

PEI QINJUAN

ChangZhou garment and Textile Institute Department of Information Technology

213164， changzhou （China）；

【Abstract】This paper presents three methods for solving integral solution of trigonometric function

【Keywords】 Change element method Symmetry method The method of undetermined coefficients

定积分是微积分中很重要的一部分知识，因此对积分计算就显得尤为重要，当三角函数和定积分综合的时候，比起普通积分更加复杂，如果利用定积分的一些有趣的性质和特点以及三角函数的恒等变形等技巧时往往可以得到很美妙的形式，从而解决这类问题。下面就给出三种求解这些积分的技巧和方法。

一、 换元法

换元法是最为常见的一种积分方法，尤其是在遇到三角函数积分的时候，往往使得解题过程中出现柳暗花明的景象。

例1：

解：令原式=

二、对称法

定积分有很多非常重要的性质，利用对称性的特点和三角函数联系起来后，往往可以将一些复杂的积分题目简单化。

1、对称区间上定积分性质：

定理1： （1）若

（2）若

（3）若

定理1中（1）式和（2）式简单，其实 （3）式适用范围更广泛，用（3）式能更加简单快速的求解出积分。

例2：

解：令

原式=

由（3）式可以继续推广到非对称区间上。

2、非对称区间上定积分的性质

定理2：

推论1：

推论1给出了更一般的非对称区间的情形下一般函数求解积分的一种很好的思路。

例3：

解：由推论，我们得到：原式=

三、 待定系数法

当定积分形式为的一次项线性组合的有理积分时，通常可考虑用这种方法解答

例4：

解：令

原式。

以上是对三角函数的定积分求解的三种比较常见的技巧方法的总结，利用这些方法能够很巧妙的化解积分形式，从而减少计算的步骤和复杂的程度，达到事半功倍的效果。

参考文献：

[1] 李德新.利用对称原理计算定积分的三种方法[J]. 高等数学研究， 2004（06），41-47

[2] 陈纪修等[编著].数学分析[M]. 高等教育出版社， 2004

[3] 同济大学数学教研室.高等数学（上） [ M ]. 北京：高等教育出版社，2001， 299 —301