换元积分法的教学方法初探

吴美容　李小衬　姜叶乘

摘 要 不定积分是《高等数学》中的一个重要的教学内容，换元积分法是一种重要而常用的积分方法。本文对换元积分法作了深入的研究，并对换元积分法的多种换元技巧进行了探讨。

关键词 换元法 不定积分 凑微分

中图分类号：G724.4 文献标识码：A

微积分的不定积分求解可以归结为求被积函数的原函数，但是在教学过程中，由于不定积分求解方法非常灵活，并且原函数也不唯一，但是这些不同的原函数之间仅仅相差一个常数。换元积分法分为两大类：第一换元积分法和第二换元积分法。第一换元法也称为 “凑微分法”，它是不定积分计算的核心，也是求解积分最基本、最常用方法之一。对于凑微分的教学，要引导学员观察被积函数的特点，看看哪些可以拿出去凑微分，我们一般把简单的函数拿去凑微分，复杂的函数留下来，正如生活中的一句俗语：把方便留给别人，困难留给自己。巧妇难为无米之炊，学员必须熟记微分公式和积分公式，否则无法使用凑微分的方法。如何帮助学员更好地掌握凑微分法，本文将做初步探讨。在学员掌握第一换元法之后，可以加强第二换元的学习，本文对一些常用的三角代换法、倒代换法等进行了总结。

1第一类换元积分法

第一换元积分法也称为凑微分法，事实上第一换元积分法是复合函数微分运算的一种逆运算，即微分形式不变性的一种逆运算。

设函数f（u）在区间上连续，u= （x）有连续的导数且 的值域包含在I中，则有换元公式。该公式∫f[ （x）] '（x）dx=[∫f（u）du]u= （x）给出的方法也叫不定积分的第一类换元法。

第一类换元积分法关键是要找到被积函数中的导数朋友，理解“凑”的过程，会“凑”微分。换元积分法包含了很多灵活的解题技巧。只有通过大量的实践练习，在练习中总结，在实践中掌握换元积分法的诀窍。笔者从教学实践中了探讨了换元积分法的常用技巧，引起学员的浓厚兴趣，使他们普遍提高了用换元积分法解题的能力，产生了良好的教学效果。对这种方法熟悉之后，第一类换元法的中间变量可以不设出来。使用此公式的关键在于将∫g（x）dx化为∫f[ （x）] '（x）dx直接将中间变量看作一个整体。

上述所介绍的都是利用换元积分法的几种典型情形。读者应认真研究这些积分方法，掌握求不定积分的一般规律，多做题，多看典型例题，并灵活运用、做好总结。

参考文献

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