高中数学解题思想方法之

李京玉

摘要：高中数学教学过程中引导学生解题时常用的一种方法——换元法。利用换元法解决问题是高中阶段数学解题过程中的基本方法，同时也是学生在实际应用过程中的难点。本文分析利用换元法解数学题的本质，从根本上寻求利用换元法解数学题的关键问题，讨论其在高中数学中的应用，为今后的高中数学教学及学生应用提供参考。

关键词：数学；解题思想；换元法；数学教学；实际应用

中图分类号：G632.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2017）50-0205-02

高中数学解题时，换元法是经常用的方法之一。换元法是把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化的方法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化，复杂问题简单化，变得容易处理。

换元法可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。

换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如已知复合函数f[g（x）]求f（x），可令t=g（x），由此解出x的表达式（用t表示x），将其代入f[g（x）]中得f（t），最后再把t换成x得到f（t）的解析式。此时要注意自变量的取值范围，即t的取值范围。又比如与指数函数有关的方程p·a2x+

q·ax+r=0，令t=ax，得pt2+qt+r=0，转化为关于t的一元二次方程（p≠0，a>0且a≠1）.同理可将与指數函数有关的不等式通过换元转化为一般不等式求解。

（注）应用局部换元法，起到了化繁为简、化难为易的作用。为什么会想到换元及如何设元，关键是发现已知方程中4x与2x之间的联系。另外，本题还要求指数运算十分熟练。一般地，解指数与对数的不等式、方程，有可能使用局部换元法，换元时也可能要对所给的已知条件进行适当变形，发现它们的联系而实施换元，这是我们思考解法时要注意的一点。

我们还可以利用三角换元，将代数问题（或者是解析几何问题）化为了含参三角不等式恒成立的问题，再运用“分离参数法”转化为三角函数的值域问题，从而求出参数范围。一般地，在遇到与圆、椭圆、双曲线的方程相似的代数式时，或者在解决圆、椭圆、双曲线等有关问题时，经常使用“三角换元法”。

Abstract：The high school mathematics teaching to guide students in the process of problem solving a method often used for change element method. Substitution method is used to solve the problem is a basic method in the process of high school mathematics problem-solving，as well as the difficulties in the process of students in practical application. Analysis method used in the nature of mathematical problem solving，fundamentally to seek the key problems of using the method of mathematical problem solving in yuan，discuss its application in the high school mathematics，for the future of the high school mathematics teaching and the students application to provide the reference.

Key words：mathematics；the problem solving thinking；change element method；mathematics teaching；the practical applicationendprint