浅析高中数学中换元法的应用误区

凌鹏

摘要：换元法是高中数学重要的解题方法，某些数学问题中，由于变量间的关系比较隐蔽，它们之间实质性的逻辑联系不易从表面形式上发现，即便发现它们之间的联系，但由于表面形式复杂而不易直接求解。如果进行适当的变量代换，这样就容易揭示出它们之间的联系，化繁为简，化难为易，因此便产生了换元法这一重要的解题方法。换元法是高中阶段必须掌握的重要解题方法，同时也可以改善学生的思维方式和提高思维能力。但初学者对换元法的使用存在着很多误区，本文着力于找出这些误区，分析错误产生的原因，让初学者能从中有所启发，总结经验，熟练掌握此法。

关键词：数学思想 换元法 换元法误区

中图分类号：G633.4

解决数学问题时，如果将某代数式看成一个整体，用一个新变量去代替它，从而使问题得到简化，这种方法叫做换元法[1]。换元法又称辅助元素法、变量代换法。高中阶段，该方法首次运用于求函数解析式，初次讲解此方法时，每位数学老师都极力用自己的语言去形象生动地阐述它，语言看似简单明了，但却难以驾驭。换元法是解题经验的积累，初学者不易熟练使用。高中数学最重要的几大解题思想方法包括：分类讨论思想，数形结合思想，转化思想，反证思想等。换元法其本质是转化思想，在高中数学中使用频率高。换元法的关键是“设元”，理论依据是“等量代换”，目的是“转化研究对象”，将问题转移到其他知识背景中去研究，使非标准型问题标准化、复杂问题简单化。形象而言，换元法能将无法一步登顶的台阶拆分为多步完成，或不与困难问题正面交锋，采用迂回战术解决。下面以一个数学问题为例，展示换元法的精妙之处。

例1.化简根式： ；

解：设 ，两边平方，

得： ；

即： ，由于原式为正数，故 ；

总结：本题表面形式复杂而不易直接求解，看起来十分困难，但仔细观察可发现 与 具有一定的关系，如果能将两者都平方，不但可以去掉根号，还能将 与 抵消。怎么实现平方呢？如果是方程，左右两边同时平方即可，通过分析，便得出了以上解题方法。使用换元法后，解题过程简单明了，特别适合数学基础较差的学生。此题体现了换元法的精妙之处，但如果没有对换元法进行深入研究，总结经验，很难想到使用此法。

虽然换元法在解决代数式化简、解方程（组）、解不等式（组）、求函数值域、求函数解析式，研究复合函数以及微积分等问题中起着重要的转化作用，能让很多难以解决的问题迎刃而解，但初学者却感到难以驾驭，稍不注意便漏洞百出。因此，必须强调使用换元法过程中常常会遇到的以下误区：

误区一：忘记标注“新元”的取值范围或标注范围有误；

例2.若 ，求 的最小值。[2]

错解：令 ，因为 ，故 。所以 ，即 ；

当且仅当 时取最小值2，亦即：当 时， 取得最小值2。

分析：“新元”范围不能简单的由正负分析而得出，务必将t看作关于x的函数，利用求值域的方法求出t的范围，由于 ，且 ，无论使用均值不等式还是勾型函数图像，都易知 ，所以错解中“当且仅当 时， 取得最小值2”是不成立的。

正解：令 ，因 ，故 ，即 ；

原式为： （其中 ），由勾形函数图像可知： ；

误区二：“设元”对象选取不当；

例3. 求函数 的值域；

错解：令 ， ，两边同时加1得： ，

即： ，所以原函数为： ，

因为 在区间 上单调递增，故 ；

分析：错解中由“ ”导出“ ”显然考虑不周，应改为： 。此时进行分类讨论又显得过于繁琐，问题的根源在于“设元”对象选取不当，若改变换元对象，可顺利解决。

正解：令 ， ，左右两边平方得： ，

即 ，故原函数为： ， ；

由二次函数图像易知：

误区三：将原函数与换元后的新函数混淆不清；

例4.研究函数 在区间 上的单调性；

错解：令 ，因 ，故 ，由 的图像知：

函数单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；

分析：“新元” 在解题过程中仅仅是一个中间变量而已，求函数的单调区间时，不能仅仅关注中间变量t的范围，而应关注最终变量x的变化范围。

正解：令 ，因 ，故 ，由 的图像知：

当 时，函数 单调递增，

当 时，函数 单调递减，

反解得： 单增区间为 ，单减区间为 ；

误区四：夸大换元法的解题效果；

虽然换元法在解决数学问题有其独特的优势，但是夸大换元法的解题效果是不可取的。研究数学问题在于看清问题的本质，看清知识的内在联系，切勿死板教条，一些高中数学教师在教学中常常使用题海战术，让学生反复记忆解题方法，虽然题海战术在某种意义上能够强化学生对知识的理解和记忆，但弊端不少。高中数学教学更应该以引导思考为主，对比练习为辅。

求函数 的值域时，可令 （其中 ），反解得： ，原函数变形为： （其中 ），由二次函数图像可解出值域为 。若将题目改为：求函数 的值域，部分学生便不假思索的开始使用换元法，因为二者具有相当高的相似度，但使用换元法求解显然“不太高明”。显然函数 是定义域 上的单调递增函数，故值域为 。虽然换元法也能解决，但反而将简单问题复杂化。以上两个例题虽然简单，也常常被数学教师作为例题引用，但很多老师都没有为学生分析过它们两者的区别和联系，造成学生的思维困惑。

虽然在数学中，换元法有着极其重要的作用，学会运用换元法，不但可以沟通数学各个分支之间的联系，还能扩大视野，培养学生学习兴趣。对于一些较难的题目，我们还应当通过认真观察问题的结构特征，深入分析问题的隐含条件，采用类比、猜想等手段进行适当的换元，并综合运用各方面的知识给予解决。但在运用时也要注意题目中的一些条件，避免陷入一些常见的解题误区。本文在于抛砖引玉，启发喜欢研究数学的同学们去积极思考其他解题方法的使用范围以及常见错误，归纳总结好的学习方法。

参考文献：

[1]柳重堪.高等数学[M].北京：中央广播电视大学出版社，2003.

[2]常佩宇、秦雨萍、杨强、邹学东.换元法常见错误分析.内江科技，2007，2：43.