换元法在高中数学解题中的运用

张博

摘要：简要介绍了换元法的相关理论，包括基本概念、一般分类和使用方法。从不同题型的实例出发，解析了三种换元法在函数、不等式和三角问题中的用法。最后总结了三点运用技巧，除了掌握常规换元方法和仔细分析题目条件外，还需特别注意换元时的等效条件。

关键词：高中数学 换元法 等效替代

一、换元法概述

所谓换元法，就是将题目中原有的一部分变量用一个新的变量来替代，通过换元，通常可以起到简化形式、缩减变量的效果。常用的换元方式有三种：一是整体换元，比如将关于x的表达式f（x）整体换元为t，再用t表示其他的关于x的表达式；二是利用的关系，对一些具有相似形式的表达式做三角换元，比如可将中的替换为，；三是均值换元，当可以确切求出两个变量的和时，便可使用均值换元，比如，那么可以做均值换元，。无论是哪种换元，换元后都是对新的中间变量或进行运算，在求出中间变量的结果后，再求原变量的取值。从这样的解题思路可以看出，换元时保证等效变换是十分重要的，尤其是定义域的转变，只有保证变换是等效的，才能保证计算结果是等效的。[1]

二、例题解析

1.函数题

例：已知有函数，试求其值域。

解：根据根号下函数有意义的要求，可以知道，这一类题型一般的求解思路是求出导数，根据导数找出单调性，然后比较两个端点和可能有的极值点的大小关系来求出值域。但这道题的函数中有两个带根号的表达式，求导后形式复杂，计算繁琐，因此可以考虑利用三角函数换元以做简化。[2]

观察函数表达式，可以改写为，由于有，因此可以设，，注意原函数的定义域，这里等效变换时。然后原函数可化为，，这样就很容易地得到原函数值域为。

2.不等式题

例：已知不等式，无论x取何值，该不等式均成立，试求出k的取值范围。

解：这道题从考点来看，并不复杂，是一个一元二次不等式恒成立的问题。可以借助形如的二次函數的性质进行求解，要求总有，则必然有，。但这道题的复杂之处在于三个系数为关于k的对数形式，如果直接带入根的判别式将很难计算，因此这里就需要先做换元，简化系数表达形式，待求出中间变量取值范围后，再求k的范围。

此处选择整体换元法，需要根据题中变量的形式合理选择被换元的部分。观察三个系数，发现底数均为2，且都含有k与k+1这两项，因此可设，那么另外两个系数可以表示为：

在将系数换元简化后，带入原不等式，就得到，不等式对所有x都成立的条件则可表示为，，联立解得，即，解得。

3.三角问题

例：已知一个三角形三个内角A、B、C满足A+C=2B，且，求的大小。

解：三角形三个内角A、B、C是本题中的未知变量，已知条件有A+C=2B，，以及A+B+C=180°，目标表达式中含有两个未知变量A和C，基本解题思路应当是根据已知条件做初步的推导分析，将目标表达式改写成用已知变量表达的形式，才能最终求解。

根据A+C=2B和A+B+C=180°可以求出A+C=120°，B =60°，这时可以利用均值换元法，设A=60°+α，C=60°-α，且有，那么第二个条件可改写成：

由此解得

那么。

三、技巧归纳

1.掌握常规换元方法

从例题中可以看出，不同的换元方法有其一般性的对应形式，尤其是三角换元。因此对于普通难度的题目，重点在于熟练掌握常规的换元规律，做到快速反应，迅速解题。[3]

2.善于观察题目形式

在一些难度较高的题型当中，题目所给条件具有隐藏性，这时就需要对题目的条件做梳理分析，寻找可以进行换元的突破点。值得注意的是，题型难度大小并不影响使用换元的基本条件，因此对条件进行初步的解算和分析有助于打开后面的思路，不必因为一眼看不出来就放弃换元法。

3.注意等效条件

换元前后的等效性，是换元法正确运用的基本保证，但也是容易被粗心忽略的地方。无论题型如何，难度如何，都需要时刻牢记这一点。

结语

换元法是高中数学解题中的经典方法，在多种题型中均有应用。本文通过对换元法的概念解析和例题总结，使知识更加系统化。类似的方法也可用于其他解题方法的归纳，相信这样的工作对提升解题能力大有帮助。

参考文献

[1]高桂华. 浅谈换元法在高中数学中的应用[J]. 中国校外教育，2011，（S1）：57.

[2]王永德. 高中数学中换元法的几种方式[J]. 甘肃联合大学学报（自然科学版），2011，（S2）：82-84.

[3]和洪云. “换元法”在数学解题中的应用[J]. 大理学院学报，2011，（04）：17-20+29.endprint