追根溯源在课本——解析2015年高三联考压轴填空题的“前世今生”

☉江苏省句容市第三中学 余东云

追根溯源在课本
——解析2015年高三联考压轴填空题的“前世今生”

☉江苏省句容市第三中学 余东云

一、真题再现

（2015年苏锡常镇四市第一次调研考试第14题）已知实数x、y满足x＞y＞0，且x+y≤2，则的最小值为______.

此题作为压轴的填空题呈现，从得分情况看，学生做的不够理想.本题考查基本不等式、不等式的性质、二元代数式等基础知识；考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力等基本能力；考查常值代换的解题方法和转化与化归、特殊与一般等数学思想.其实，本题源于课本，由课本中的习题一步一步演化延伸拓展而来.

二、逐步演变

1.原型简约，体现三基

苏教版必修5第106页第16题：已知正数x、y满足x+ 2y=1，求的最小值.

分析：这是一道非常典型的习题，蕴含着丰富内涵和背景，较好地考查学生的基本知识、基本方法和基本技能，题目结构简单，解法较多.学生在解答时无任何障碍，较为简单和常用的方法是常值代换，即将所求代数式中的“1”换成“x+2y”，或者乘以“x+2y”.过程如下.

2.改变系数，雏形初现

分析：由于“2x+2y=1”的右边是常值“1”，仍然可以采用原型题的解法解决，难度没有得到根本性的增加.

分析：“x+y=2”中的常值为“2”，解题时仍然要在所求代数式中乘以“x+y”，为确保相等，必须构造系数，难度初现.当且仅当即x=y=1时，取“=”.

3.变换结构，提升思维

分析：本次变式，对学生的分析能力、洞察能力要求较高，难度较大.解题时，要采用常值代换和整体代换的解题方法，即要发现代数式的两个分母的关系，即（x+ 3y）+（x-y）=2（x+y）=4，而这在代数式中正好与已知条件相对应.这是建立在学生对式子结构分析的基础上才能发现的，也是解决本题的关键.在所求代数式中乘以“x+ y”，为确保相等，必须构造系数.过程如下.当且仅当x=时，取“=”.

4.变式不等，压轴成型

分析：本次变式，即为这道联考题目，条件由等式关系变为不等关系，同时加上结构的烦琐，在知识的理解上增加了障碍和悬念，学生会误认为可用“线性规划”来处理.在解法上也完全脱离了常值代换的背景，极难处理.同时，在解题过程中还要运用不等式的传递性.本题对基本知识、基本能力的要求极高，不愧为压轴的填空题.过程如下.

由x+y≤2，得 1≥1②. x+y2

三、拓展延伸

解析：本次变式，是在联考题的基础上再进行的变式，难度进一步加大.已知代数式中的两个分母的关系，即（x+4y）+（x-y）=2x+3y，不再像前几次与已知条件的结果相对应，这样的拓展，对学生的应变能力及综合能力要求更高.让2x+3y和x+y≤2建立关系是一个难点，要求学生想到利用待定系数法来配凑系数.因此，本题注重对学生数学综合能力的考查，要求能够综合地应用基本不等式及不等式的知识，运用常值代换和待定系数法，来解决这类综合性的问题.同时，本题也极大地挑战了学生的心理承受能力及自信心.如果学生平时没有进行大量类似的训练及思考，是很难做出来的.过程如下.

令λ（x+4y）+μ（x-y）=x+y，即（λ+μ）x+（4λ-μ）y=x+y.

四、教学反思

纵观近几年全国各省市的高考数学试题及高三联考试题可以发现，有很多题目都源于课本，都能在课本上找到原型.这类题都是以课本题为蓝本，经过专家们匠心独运，锐意创新，变换命题的视角和精心演变拓展而成，考查与原题有关的基础知识、基本技能.它们紧扣课本和大纲，体现了基础性和学好课本知识的重要性，有着较好的导向作用，对于引导师生重视基础、重视教材、研究教材、用好和用活教材，均大有好处.

波利亚指出：“拿一个有意义又不复杂的题目去帮助学生挖掘问题的各个方面，使得通过这道题就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的领域.”因此，在数学教学过程中，紧抓课本题目不放松，努力挖掘它们的最大课堂效益，不断引导学生对解题过程进行反思、拓展、联想、总结.善于将课本题目纵横发散，层次深入，不断延伸拓展，将问题合理演化，凝题成链，织题成网，让课本习题成为学生巩固知识，分析探究问题，提高能力，掌握思想方法的重要渠道，让学生在题目的演变中学会发现、提出、分析及解决问题.使数学课堂解题教学达到既能让学生跳出“题海”，提升解题的创新能力，又能培养学生应用观察、猜想、抽象、概括、归纳、证明等手段解决问题的能力.

在高考复习中，教师一定要立足课本，回归课本，强化对课本习题的研究，不能简单的就题论题，而应进行适当地变化、引申和挖掘，揭示其有价值的新结论、新解法.这样做不仅能使学生产生触类旁通、举一反三的学习效果，而且能开阔学生的思维，发挥一题多用的作用.同时要注重引导学生对课本习题进行一题多解，一题多变，挖掘出课本习题与高考试题的联系，将课本习题进行组合、变式、引申，演变出高质量的备考题，使学生切实体会到加强课本习题研究在高考复习中的重要性，真正做到“以教材为本”，提高备考效果.A