巧借常值数列 妙破数列问题

四川省成都市第七中学

廖学军

常值数列是一类特殊的数列，是等差数列与等比数列的一个和谐统一.常值数列中各项的值都相等，其通项公式是an=a1=a(n∈N*，a∈R)，是一个公差d=0的等差数列，当a≠0时其又是一个公比q=1的等比数列.常值数列在解题过程中往往有其特殊的作用，特别在一些相关的数列问题中，常值数列的特征不明显，经过合理的变形、转化与推导，“添油加醋”才能选取、配凑或构造出对应的常值数列，进而借助常值数列的相关特征性质来处理与解决问题，往往能起到非常良好的效果，出奇制胜，简单快捷处理相应的数列问题.

1 巧选常值数列

根据题目条件，选取满足条件的特殊数列——常值数列，进而利用常值数列的特征性质来分析、处理与解决问题.

例1已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3+a5+a7=24，则S9等于( ).

A.288 B.144 C.72 D.36

分析：结合题目条件，通过选取特殊数列——常值数列，使一般性的等差数列问题特殊化，进而在特殊情况下加以运算，再对特殊情况下常值数列的运算结果进行一般化处理即可得以快捷求解.

解析：不妨设等差数列{an}的公差为0，此时数列{an}是一个常值数列，则由a3+a5+a7=24，可得a1=an=8，所以S9=9a1=9×8=72.

故选：C.

点评：通过特殊的常值数列的选取与引入，可以非常快捷地处理一些与数列运算有关的通项、求和等问题.通过常值数列等特殊数列的选取，将一般性的数列问题特殊化，使问题简单统一化，简化运算.

2 巧判常值数列

根据题目条件，准确判断出满足条件的数列为特殊数列——常值数列，直接利用常值数列的特征性质来分析、处理与解决问题.

例2(2014年高考数学安徽卷理科第12题)数列{an}是等差数列，若a1+1，a3+3，a5+5构成公比为q的等比数列，则q=______.

分析：利用两个等差数列对应的项依次相加后得到的数列还是等差数列的性质，可以判定a1+1，a3+3，a5+5构成一个等差数列，其同时又是一个等比数列，得以判定其是一个常值数列，再利用其特征性质来确定公比的值.

解析：因为数列{an}是等差数列，而1，3，5也是一个等差数列，所以a1+1，a3+3，a5+5构成一个等差数列.又a1+1，a3+3，a5+5构成公比为q的等比数列，所以a1+1，a3+3，a5+5是一个常值数列，则有q=1.

故填答案：1.

点评：利用“非零常值数列既是等差数列又是等比数列”这一基本性质，进而结合一个数列满足既是等差数列又是等比数列这一性质特征来判定其是常值数列，则知其公差d=0，公比q=1.综合等差数列的性质，巧妙判断，合理应用，快捷求解.

3 巧用常值数列

根据题目条件，巧妙选用满足条件的特殊数列——常值数列，为进一步利用常值数列的特征性质来分析、处理与解决问题提供条件.

例3设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1=20，b1=80，a10+b10=100，则a2020+b2020等于( ).

A.2020 B.100 C.50 D.无法确定

分析：结合条件列出关系式(a10+b10)-(a1+b1)=0的确定，综合等差数列的性质得以判定满足cn=an+bn的数列{cn}为常值数列，进而利用常值数列的性质特征来确定对应通项的值即可.

解析：由于(a10+b10)-(a1+b1)=100-(20+80)=0，则知满足cn=an+bn的数列{cn}是一个常值数列，所以c2020=a2020+b2020=a10+b10=100.

故选：B.

点评：结合“一个公差为0的等差数列”为常值数列这一基本性质，利用常值数列的各项的值都相等这一性质特征来确定对应通项的值问题.巧妙应用常值数列，合理转化，快捷求解.

4 巧凑常值数列

根据题目条件，通过合理配凑得以确定满足条件的特殊数列——常值数列，为进一步利用常值数列的特征性质来分析、处理与解决问题奠定基础.

例4(2018年北京大学自主招生数学试卷第10题)设数列{an}的首项a1=2019，前n项和Sn=n2an，则a2018的值为( ).

分析：根据题目条件进行消元处理，把涉及通项an与前n项和Sn的关系式转化为只含有通项an的关系式(n+2)an+1=nan，借助配凑思维，合理添加相应的系数n+1转化为(n+2)(n+1)an+1=(n+1)nan，结合常值数列的判定与性质来确定对应的通项an.

解析：由Sn=n2an，得Sn+1=(n+1)2an+1.

以上两式对应相减，可得

Sn+1-Sn=(n+1)2an+1-n2an.

即an+1=(n+1)2an+1-n2an，化简可得

(n+2)an+1=nan.

上式两边同时乘n+1，可得

(n+2)(n+1)an+1=(n+1)nan.

则数列{(n+1)nan}是一个常值数列，所以

(n+1)nan=2×1×a1.

即

故选：C.

点评：结合条件的合理配凑来确定“an+1=an”这一特征关系式，进而确定一个常值数列，为进一步解决数列通项等相关问题奠定基础.通过合理配凑，结合常值数列的判定，合理利用常值数列的性质，为数列相关问题的破解开辟一个新局面.

5 巧构常值数列

根据题目条件，通过合理的变形、转化与推导，构造满足条件的特殊数列——常值数列，再结合常值数列的特征性质来分析、处理与解决问题.

例5已知数列{an}满足an+1=2an+3×5n，a1=6，则数列{an}的通项公式为an=______.

解析：由an+1=2an+3×5n，可得an+1-5×5n=2an-2×5n，则有an+1-5n+1=2(an-5n).

故填答案：2n-1+5n.

点评：结合数列递推关系式的变形与转化，并合理构造新数列，通过常值数列“an+1=an”这一特征关系式来判断与应用，为求解复杂的数列通项公式提供条件.合理构造常值数列来解决问题，可以有效简化解题过程，减少运算量.

在破解一些数列问题时，结合对题目中已知的数列递推关系式等条件加以变形、转化与推导，通过特殊选取、准确判断、有效选用、合理配凑、巧妙构造等技巧，“慧眼识英雄”，挖掘常值数列的影子.结合整体思想与目标意识，利用直觉思维、逻辑推理与敏锐的眼光，从而选取、识别或导出相应的常值数列，进而利用常值数列的特征性质加以解题，往往能出奇制胜，快速破解.