“纸”中数学：在操作中丰富学生数学思维

赵凌兵

数学是思维的体操。笔者在多年的小学数学教学生涯中，一直致力于探索适用于小学生的数学思维方式，初步认为“顺延思维、创新思维、整体思维”这三种思维方式，可以很好地揭示学生的思维过程，启迪和丰富学生的数学思维。下面以苏教版数学六年级下册总复习中的“立体图形的侧面积（复习）”为例，简要叙述在动手操作中如何丰富学生的数学思维。

A4纸的外包装上图文并茂，信息众多，为了快速切入本课的教学，我在课前谈话时删繁就简，直接呈现“297mm×210mm”这条信息，为了方便又将数据取近似数，把A4纸看作长30厘米、宽20厘米的长方形。以下呈现的是教学过程中的几个操作片段。

【操作一】在A4纸不重叠的前提下，折出我们学过的某种没有底面的立体图形。这虽是一个开放性的操作要求，但基于操作的方便性，也由于本学期刚学过圆柱的知识，所以学生折出的全部是圆柱（两种）。

师：这两个圆柱都是A4纸折出的，说明它们和A4纸有联系，联系在哪儿？回答之后请学生完成表格。（只列式不计算）

【操作二】这张A4纸除了能折成圆柱外，在不重叠的前提下，还能折成哪种没有底面的立体图形？

由于小学数学教材要求学生重点掌握的立体图形除了圆柱与圆锥外，就只有长方体和正方体。在“不重叠”的前提下，学生操作时会自觉排除掉圆锥；加之A4纸是长方形的（长30厘米、宽20厘米），所以不能折出正方体；很多学生将长或宽对折再对折，折出底面是正方形的两种长方体。

师：这两个长方体和A4纸有什么联系呢？这两个长方体的长、宽、高分别是多少厘米呢？你是怎么求出来的？之后学生完成表格。

师：仔细观察，用A4纸折出的这两个长方体好像比较特殊呢，特殊在哪儿？（这两个长方体的底面都是正方形。）

【操作三】用这张A4纸折长方体，真的只能折出这两个吗？同桌边讨论、边动手，看看还能折出怎样的没有底面的长方体。

这项操作充满着挑战，很多学生知道要折成底面是长方形的长方体，但在操作时往往因为图方便而将相对的两个面连在一起，以致无法折出。好在部分学生经过自我调整或与同桌交流，终于折出底面是长方形的长方体。

师：以两位学生折出的长方体为例，量出长度。一个长方体长是10厘米，它的宽和高分别是多少厘米呢？你是怎么想的？另一个长方体宽是3厘米，它的长和高分别是多少厘米呢？你是怎么想的？（完成表格）

【操作四】这张A4纸，除了能折出圆柱、长方体外，还能折出其他的立体图形吗？哪怕是我们没学过的。试试看！

学生的创造力是无穷的，经过简短的思考，就有人折出了三棱柱。

【操作五】刚才大家折的是三棱柱，有没有四棱柱呢？折折看！（很多学生折出的依然是长方体）你发现了什么？四棱柱一定是长方体吗？（不一定，四棱柱的底面可以是任意的四边形。）四棱柱和长方体相比，谁的范围更大？这就是说：长方体是特殊的四棱柱。

师：有了三棱柱、四棱柱，肯定还有……同学们，普普通通的一张A4纸，因为你们的智慧操作，让它发生了神奇的变化，产生了无数的立体图形。当这些立体图形的底面棱数越来越多时，就变成了……（圆柱）

一、秉承一脉，丰富学生的顺延思维

1.选准教学起点，唤醒直觉思维

“操作一”是以学生对“圆柱的侧面积”认识为教学起点，没有经过按部就班的推理，而是调动学生自身的知识经验，通过直觉思维的唤醒而作出的敏锐操作，直接把握住了操作对象的本质和联系。

2.借助形体表象，完善形象思维

“操作二”帮助学生建立了底面是正方形的长方体的表象，“操作三”则在此基础上对长方体进行了完善，“操作四”的三棱柱、“操作五”的四棱柱，以及后面无需一一操作的五棱柱、六棱柱……当底面棱的条数越来越多时，必然回到原点——圆柱。整个过程已经超越了操作本身，借助表象而进行的联想与想象，极大地完善了学生的形象思维。

3.指导正确迁移，培养缜密思维

学生在解题时，虽然思路正确，但往往思维不够缜密，导致无法解决问题。刚开始“操作三”时，很多学生知道要折成底面是长方形的长方体，思路是正确的，但在折纸时受“操作二”的负迁移影响，将大小一样的两个面连在一起，以致无法折出（因为长方体展开后相对的面不可能连在一起）。这时我引导学生复习“长方体的侧面展开图”中“相对的面不可能连在一起”这一知识点，再让学生经过自我调整或与同桌交流，终于折出底面是长方形的长方体。

二、革故鼎新，丰富学生的创新思维

创新有狭义与广义之分，面对小学生，我们需要的是广义的创新思维，只要是以前没有而现在有，对学生个体而言，就是一种创新。

1.鼓励大胆操作，诱发求异思维

求异思维是指有创见的思维，即通过创造性思维活动，不仅揭露事物的本质及其内在联系，而且在这个基础上产生新颖的、超出一般规律的思维成果。“操作四”的提问：“这张A4纸，除了能折出圆柱、长方体外，还能折出其他的立体图形吗？哪怕是我们没学过的。”其中“哪怕是我们没学过的”这句话，含有极强的鼓动性，诱发了学生的求异思维，鼓励了学生大胆地、创造性地开展操作活动。

2.避免思路单一，发展多向思维

多向思维表现为既可以是从尽可能多的方面去思考同一个问题，也可以从同一思维起点出发，让思路呈辐射状，形成诸多系列。前面说过，小学数学教材中的“侧面积”知识，仅仅局限于圆柱的侧面积，对于其他立体图形的侧面积则没有涉及。如何避免由这单一知识点而造成思路单一呢？以上五个操作片段，从圆柱→长方体→三棱柱→四棱柱→……→圆柱，突破了教材的知识局限，打破了学生原有的思维方式，很好地发展了学生的多向思维。

3.拓展知识外延，克服思维定势

“操作五”一开始，受思维定势的影响，学生折出的四棱柱依然是长方体居多，如何克服这个思维定势呢？我从底面是四边形入手，提醒学生四边形绝不仅仅只有长方形和正方形。知识的外延一旦打开，学生的折纸也就千姿百态：四棱柱的底面有平行四边形、梯形，甚至是任意四边形。

三、貌“离”神“合”，丰富学生的整体思维

整体思维认为应把目光投向对学生思维的整体把握，从而避免“只见树木、不见森林”的单一与狭隘，有效提升学生的整体思维能力。

1.分析判断推理，开发逻辑思维

逻辑思维以概念、判断和推理作为思维的基本形式，以分析、综合、比较、抽象、概括和具体化作为思维的基本过程，从而揭露事物的本质特征和规律性联系。上述几个操作过程所折出的圆柱、长方体、三棱柱、四棱柱，以及推想产生的五棱柱、六棱柱……它们侧面积的本质就是这张A4纸，它们侧面积的大小就是这张A4纸的大小。

2.形体分类总结，形成聚合思维

聚合思维又称求同思维，是将各种信息汇聚起来分析、整合，最终探求出一个正确规律（答案）的思维方法。以上操作过程，笔者都自制了实物教具（圆柱、三棱柱、五棱柱各两个，底面是平行四边形的四棱柱、底面是梯形的四棱柱各两个，长方体四个）。当学生沉浸在那么多教具带来的震撼时，我让学生对这些立体图形进行分类，学生很自然地将它们分成了“高瘦子”（以宽20厘米作底面周长、长30厘米作高）和“矮胖子”（以长30厘米作底面周长、宽20厘米作高）两类。此时再追问：“这些立体图形有什么相同之处吗？”学生自然而然地得出“它们的侧面积都相等”，“它们的侧面都是同一张A4纸，侧面积都等于底面的周长×高”。在分类总结中帮助学生形成聚合思维。

3.利用知识本身，挖掘极限思维

小学数学课程中有许多问题是与高等数学内容有关的，尤其是极限思维与小学数学的许多内容有直接联系。在小学里，解决这些问题不一定需要严格证明，但可以在直观演示或操作的过程中，挖掘知识本身所蕴藏的极限思维。比如“操作四”“操作五”中的三棱柱、四棱柱……最终到圆柱，以及三棱柱、四棱柱……个数有无数个，这些都是很好的极限思维的渗透。

荷兰教育家弗赖登塔尔指出：学习数学唯一的方法是实行再创造。他认为这是一种最自然、最行之有效的学习方法。因为只有通过自己的再创造而获得的知识，才能真正掌握和灵活应用。本文所述，正是利用一张普普通通的A4纸，在操作中引领学生不断地再创造，不断地丰富学生的数学思维。endprint