反思，让学生由“活动经历”到“经验获得”

胡逸飞

“基本数学活动经验”是《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课程标准》）中提出的“四基”之一。它是指围绕数学课程教学目标，学生在经历了与学科相关的各类基本活动之后，形成的并在遇到相似情景时可以忆起的某种体验、方法性知识或某种观念。那么如何让学生获得“基本数学活动经验”呢？《课程标准》中指出：教学中注重结合具体的学习活动，设计有效的数学探究活动，使学生经历数学的发生发展过程，是学生积累数学活动经验的重要途径。

我们知道数学经验是在活动中获得的，但活动了并不就是获得经验了。所以在教学中，教师应致力于让学生先进行“活动的经历”， 再引导他们实现“活动的内化”，最后达到“经验的获得”。“活动的内化”其实就是一种思维的建构活动，即由具体的活动抽象出相应的模式。这个过程，简而言之，就是我们平时所说的“反思”。如下图所示：

适时引导学生在各类活动后展开反思、讨论，并在下次数学活动中合理运用，是学生形成基本数学活动经验的重要方法。

一、动手操作后的反思，促进感知型经验的形成

在数学课堂中，学生动手操作活动非常普遍。简单的如摸一摸、量一量、折一折、剪一剪、画一画等，复杂的如具体情境中购物、使用尺或天平等工具测量等都是常见的学习方法。学生的这些行为操作，都是他们亲身经历的源于实际生活的数学活动，其目的或是初步感知概念，或是尝试解决问题，或是体会数学源于生活，或是培养乐学情感。在这些操作之后，学生往往会“若有所思”，但又不是“了然于心”，在此时教师引导学生反思自己的操作过程，回味自己的学习方法，有助于他们形成数学感知的经验。

如在教学人教版二年级上册“厘米的认识”时，学生经历了丰富的动手操作的活动后获得了对测量单位的感性认识，这时学生对操作过程有所体验，但只是零星的、杂乱的感悟，在此基础上，教师及时引导：“回想一下，刚才我们是怎么认识1厘米的？” 让学生在回忆学习过程中实现活动经验数学化：“我是从直尺上找到1厘米的。”“我知道1厘米有这么长（用手比画）”“我的指甲宽度就是1厘米”“课桌的宽里大约含有30个1厘米，所以课桌宽约30厘米”……对于这些学生描述的具体操作活动，教师再深入引导：“根据这些我们对1厘米的认识，你能说说通过怎样的活动来认识其他的长度单位？”交流后总结出：我们是通过认一认（认识1厘米到底有多长？）；比一比（比画1厘米有多长？）；找一找（身体上或生活中的1厘米有哪些？）；估一估（估计具体物品长有几厘米？）；量一量（测量物体的长度，并和预估的结果进行比较）等活动来学习“厘米”的。在这里教师注重在学生经历“对1厘米认识的操作活动”后引导反思，使他们获得了建立1厘米概念的清晰的活动经验，为以后在学习同类知识（米的认识，毫米、分米的认识，千米的认识）或相似知识（面积单位的认识、体积单位的认识、质量单位的认识）积累了感知型的数学经验。

二、探究活动后的反思，促进知识型经验的形成

对于新的数学知识，教师往往会设计相关的情境，引导学生在数学情境中进行自主探究，在经历数学发生、发展的过程后使他们习得概念和定义、掌握运算方法、找到解决问题的策略等，这就是学生的自主探究合作学习活动。不同内容、不同形式的探究活动背后其实有着某些相同的数学思维和数学理解，这些思维和理解，往往能进行正迁移，这就是数学知识形成经验的一种。教师所要做的就是通过“探究活动—引导反思—形成经验—运用经验再探究”的过程，让学生的经验在活动中孕育，在反思中产生，在运用中提升。

在教学人教版三年级下册“长方形和正方形的面积”时，教师引导学生用“猜想—验证—归纳—运用”的方法进行学习，验证并归纳“长方形面积=长×宽”的过程，让学生小组合作探究，在反馈中，学生汇报了自己的研究结果：第一种是将单位面积（小正方形）放满整个长方形后数出小正方形的个数即是面积；第二种是将小正方形放在长和宽处，用长的个数乘宽的个数得出面积；第三种是直接用尺子量出长和宽再相乘得出面积。

合作探究活动之后，教师让学生反思：这节课我们是怎么探究长方形的面积的？生1：我们知道求长方形的面积是多少平方厘米，就是求长方形里包含了几个1平方厘米的正方形。生2：求长方形里包含几个1平方厘米的小正方形，可以用小正方形去摆满整个长方形；也可以只摆长（每行有几个）和宽（有这样的几行），再推算；最方便的是量出长方形的长和宽，其实就是明白长方形的长能放几个、宽能放几个，再通过乘法计算得到面积。生3：长方形的面积计算方法推理如下：

学生在本节课中获得了面积计算方法推导的知识型经验，在五年级下册学习“长方体和正方体的体积”时，就可以运用经验自主接近问题了，可以先让学生回忆长方形面积的推导方法，激活已有的经验，自主探索长方体体积的计算方法。

五年级上册“多边形的面积”这个单元中也有此类通过参与探究活动后获得的知识型的经验，在探究平行四边形面积计算方法后，引导学生反思形成数学活动经验：能把未知图形转化成学过的什么图形？动手剪一剪、拼一拼，进行转化，再寻找转化后的图形与原来的图形有什么关系？从而在三角形的面积和梯形的面积学习时，同样可以以此激发学生的已有探究经验来进行自主学习。同理，圆面积计算公式的推导过程中的活动经验，也适合进行圆柱的体积计算公式的推导。

三、数学建模后的反思，促进策略型经验的形成

《课程标准》指出：应重视学生已有的经验，使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程。数学建模是在感性认识的基础上，把获得的感觉材料经过思考与分析，加以去粗取精、去伪存真、由此及彼、由表及里的整理与改造，形成概念、判断、推理。在这个过程完成之后，教师要引导学生回味、比较和梳理建模活动中的方法和策略，在集体交流的基础上，形成对数学建模过程相对完整准确的共识，这就是数学活动经验中的策略性成分。endprint

在五年级下册“找次品”一课的教学中，需要通过多次找次品的尝试活动，并在每次活动后开展经验共享，为下一次的活动积累经验，最终建立起找次品的数学模型。如第一次“从3个零件中找出1个较轻的次品”活动后的反思交流，可以帮助学生弄清题目的确切要求，初步建立起“三分法”的推理思路，学会运用数学符号来表示称法。在此经验基础之上，进行第二次“从5个或7个零件中找到较轻的次品”的活动，活动的有效性明显提高。第二次活动后的反思，可以让学生感受到有时零件多一些或少一些不会影响称的次数。第三次解决“9个或者11个零件中找出较轻的次品”，在多种称法反馈之后引导学生反思，从而发现相对优化的称法，并形成初步的猜想：每次把含有次品的零件尽量分成相等的3份，所用的次数最少。第四次解决“243个零件中找出较轻的次品”，活动后反思，旨在让学生体验层层化归解决问题的过程，并找到数学模型。

教师在活动中注重搭建“反思交流”的平台，在前一个活动后引导反思，集体交流，使学生达成共识，提炼出策略性的经验，在下一个活动开展时，再加以充分利用，这是积累策略型数学经验的有效方法。

四、体验想象后的反思，促进情感型经验的形成

众所周知，世界上很多东西只能靠亲身经历来获得，比如数学学习中的情感体验。教师常常会引导学生借助想象、比喻、联想、猜测等方法，来寻求具体的、形象化的支撑，获得具体的意象固着点，从而体验数学概念和数学思想的本质，在此类体验学习后，学生的适时反思，即可获得某种相对抽象的情感性数学经验。

在四年级上册“射线、直线和角”一课的教学中，因为射线和直线的无限性，在真实生活中的实例基本不存在，学生无法具体感知，对于这两个抽象的数学概念往往难以理解，所以教师设计了让学生想象体验的活动。首先用“点动成线”的思想来体验射线和直线的特征：屏幕中出现一个点，让点移动并留下轨迹，分别形成线段、折线和曲线。再演示点直直地移动一直到屏幕的边缘，请学生说一说，点这样移动形成的是一条怎样的线？引导学生想象：如果这个点继续直直地不停移动，那么这条线会怎样？学生通过想象后描述：从一个点出发，直直地延伸到无限远处，形成一条线。教师请学生闭上眼睛在脑中想象出这条线，并告诉他们，这就是射线。初步感知了射线的特征后，结合发光棒让学生再次想象：这束光可以看成我们数学中的射线吗？学生展开想象的翅膀，在讨论交流后，辩证地得出结论：如果光束发出后遇到了墙壁或树，哪怕是在很远的天空中遇到了云朵，那么这光束是线段；如果发出后没有遇到任何阻拦，并且可以一直发光，那么可以看成射线。学习射线之后，引导学生反思：“我们是如何学习射线的？”此后在学习直线时，学生能自主地用“点动成线”的方法描述直线：一个点直直地向一个方向和其相反方向移动，形成的轨迹，是一条直线。像孙悟空的金箍棒，如果能不停地向两端延伸，就可以看成数学中的直线。在这个过程中，学生的思维一直借助想象的力量来理解射线概念，在脑中建立了清晰的射线模型，还迸发出思维的火花。

想象体验活动借助想象，使抽象的数学内容联系生动的具体意境，找到可以形象理解的、相对现实的立足点，帮助学生感悟数学概念或数学思想，从而获得数学经验。

再如在“圆的周长”课堂小结中，教师引导学生在回顾了课堂上对圆周率的研究历程后，谈谈自己的感悟。有的学生说：我们的滚动法和绕绳法与祖冲之的割圆术相比，真是小巫见大巫啊，在那个没有任何精密计算工具的年代能计算出小数点后7位，我被深深震撼了。有的学生说：数学家们精益求精，现在已经有人把π值推算到小数点后10万亿位，实在太了不起了。有的学生说：计算机是如何演算π值的呢？这真是一个谜，我希望长大后能解答这个疑问。这种情感体验的经验在数学学习中有着非常积极的作用。

弗赖登塔尔认为：“反思是数学思维活动的核心和动力。”教师引导学生在活动后的有效反思，可以将“经历”中散乱的感性认识提升为整合的理想思考，也就是“数学活动经验”。构架好反思这座联结“经历”和“经验”的桥梁，是落实“四基”教学目标的重中之重。

（浙江省宁波市海曙中心小学 315000）endprint

在五年级下册“找次品”一课的教学中，需要通过多次找次品的尝试活动，并在每次活动后开展经验共享，为下一次的活动积累经验，最终建立起找次品的数学模型。如第一次“从3个零件中找出1个较轻的次品”活动后的反思交流，可以帮助学生弄清题目的确切要求，初步建立起“三分法”的推理思路，学会运用数学符号来表示称法。在此经验基础之上，进行第二次“从5个或7个零件中找到较轻的次品”的活动，活动的有效性明显提高。第二次活动后的反思，可以让学生感受到有时零件多一些或少一些不会影响称的次数。第三次解决“9个或者11个零件中找出较轻的次品”，在多种称法反馈之后引导学生反思，从而发现相对优化的称法，并形成初步的猜想：每次把含有次品的零件尽量分成相等的3份，所用的次数最少。第四次解决“243个零件中找出较轻的次品”，活动后反思，旨在让学生体验层层化归解决问题的过程，并找到数学模型。

教师在活动中注重搭建“反思交流”的平台，在前一个活动后引导反思，集体交流，使学生达成共识，提炼出策略性的经验，在下一个活动开展时，再加以充分利用，这是积累策略型数学经验的有效方法。

四、体验想象后的反思，促进情感型经验的形成

众所周知，世界上很多东西只能靠亲身经历来获得，比如数学学习中的情感体验。教师常常会引导学生借助想象、比喻、联想、猜测等方法，来寻求具体的、形象化的支撑，获得具体的意象固着点，从而体验数学概念和数学思想的本质，在此类体验学习后，学生的适时反思，即可获得某种相对抽象的情感性数学经验。

在四年级上册“射线、直线和角”一课的教学中，因为射线和直线的无限性，在真实生活中的实例基本不存在，学生无法具体感知，对于这两个抽象的数学概念往往难以理解，所以教师设计了让学生想象体验的活动。首先用“点动成线”的思想来体验射线和直线的特征：屏幕中出现一个点，让点移动并留下轨迹，分别形成线段、折线和曲线。再演示点直直地移动一直到屏幕的边缘，请学生说一说，点这样移动形成的是一条怎样的线？引导学生想象：如果这个点继续直直地不停移动，那么这条线会怎样？学生通过想象后描述：从一个点出发，直直地延伸到无限远处，形成一条线。教师请学生闭上眼睛在脑中想象出这条线，并告诉他们，这就是射线。初步感知了射线的特征后，结合发光棒让学生再次想象：这束光可以看成我们数学中的射线吗？学生展开想象的翅膀，在讨论交流后，辩证地得出结论：如果光束发出后遇到了墙壁或树，哪怕是在很远的天空中遇到了云朵，那么这光束是线段；如果发出后没有遇到任何阻拦，并且可以一直发光，那么可以看成射线。学习射线之后，引导学生反思：“我们是如何学习射线的？”此后在学习直线时，学生能自主地用“点动成线”的方法描述直线：一个点直直地向一个方向和其相反方向移动，形成的轨迹，是一条直线。像孙悟空的金箍棒，如果能不停地向两端延伸，就可以看成数学中的直线。在这个过程中，学生的思维一直借助想象的力量来理解射线概念，在脑中建立了清晰的射线模型，还迸发出思维的火花。

想象体验活动借助想象，使抽象的数学内容联系生动的具体意境，找到可以形象理解的、相对现实的立足点，帮助学生感悟数学概念或数学思想，从而获得数学经验。

再如在“圆的周长”课堂小结中，教师引导学生在回顾了课堂上对圆周率的研究历程后，谈谈自己的感悟。有的学生说：我们的滚动法和绕绳法与祖冲之的割圆术相比，真是小巫见大巫啊，在那个没有任何精密计算工具的年代能计算出小数点后7位，我被深深震撼了。有的学生说：数学家们精益求精，现在已经有人把π值推算到小数点后10万亿位，实在太了不起了。有的学生说：计算机是如何演算π值的呢？这真是一个谜，我希望长大后能解答这个疑问。这种情感体验的经验在数学学习中有着非常积极的作用。

弗赖登塔尔认为：“反思是数学思维活动的核心和动力。”教师引导学生在活动后的有效反思，可以将“经历”中散乱的感性认识提升为整合的理想思考，也就是“数学活动经验”。构架好反思这座联结“经历”和“经验”的桥梁，是落实“四基”教学目标的重中之重。

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在五年级下册“找次品”一课的教学中，需要通过多次找次品的尝试活动，并在每次活动后开展经验共享，为下一次的活动积累经验，最终建立起找次品的数学模型。如第一次“从3个零件中找出1个较轻的次品”活动后的反思交流，可以帮助学生弄清题目的确切要求，初步建立起“三分法”的推理思路，学会运用数学符号来表示称法。在此经验基础之上，进行第二次“从5个或7个零件中找到较轻的次品”的活动，活动的有效性明显提高。第二次活动后的反思，可以让学生感受到有时零件多一些或少一些不会影响称的次数。第三次解决“9个或者11个零件中找出较轻的次品”，在多种称法反馈之后引导学生反思，从而发现相对优化的称法，并形成初步的猜想：每次把含有次品的零件尽量分成相等的3份，所用的次数最少。第四次解决“243个零件中找出较轻的次品”，活动后反思，旨在让学生体验层层化归解决问题的过程，并找到数学模型。

教师在活动中注重搭建“反思交流”的平台，在前一个活动后引导反思，集体交流，使学生达成共识，提炼出策略性的经验，在下一个活动开展时，再加以充分利用，这是积累策略型数学经验的有效方法。

四、体验想象后的反思，促进情感型经验的形成

众所周知，世界上很多东西只能靠亲身经历来获得，比如数学学习中的情感体验。教师常常会引导学生借助想象、比喻、联想、猜测等方法，来寻求具体的、形象化的支撑，获得具体的意象固着点，从而体验数学概念和数学思想的本质，在此类体验学习后，学生的适时反思，即可获得某种相对抽象的情感性数学经验。

在四年级上册“射线、直线和角”一课的教学中，因为射线和直线的无限性，在真实生活中的实例基本不存在，学生无法具体感知，对于这两个抽象的数学概念往往难以理解，所以教师设计了让学生想象体验的活动。首先用“点动成线”的思想来体验射线和直线的特征：屏幕中出现一个点，让点移动并留下轨迹，分别形成线段、折线和曲线。再演示点直直地移动一直到屏幕的边缘，请学生说一说，点这样移动形成的是一条怎样的线？引导学生想象：如果这个点继续直直地不停移动，那么这条线会怎样？学生通过想象后描述：从一个点出发，直直地延伸到无限远处，形成一条线。教师请学生闭上眼睛在脑中想象出这条线，并告诉他们，这就是射线。初步感知了射线的特征后，结合发光棒让学生再次想象：这束光可以看成我们数学中的射线吗？学生展开想象的翅膀，在讨论交流后，辩证地得出结论：如果光束发出后遇到了墙壁或树，哪怕是在很远的天空中遇到了云朵，那么这光束是线段；如果发出后没有遇到任何阻拦，并且可以一直发光，那么可以看成射线。学习射线之后，引导学生反思：“我们是如何学习射线的？”此后在学习直线时，学生能自主地用“点动成线”的方法描述直线：一个点直直地向一个方向和其相反方向移动，形成的轨迹，是一条直线。像孙悟空的金箍棒，如果能不停地向两端延伸，就可以看成数学中的直线。在这个过程中，学生的思维一直借助想象的力量来理解射线概念，在脑中建立了清晰的射线模型，还迸发出思维的火花。

想象体验活动借助想象，使抽象的数学内容联系生动的具体意境，找到可以形象理解的、相对现实的立足点，帮助学生感悟数学概念或数学思想，从而获得数学经验。

再如在“圆的周长”课堂小结中，教师引导学生在回顾了课堂上对圆周率的研究历程后，谈谈自己的感悟。有的学生说：我们的滚动法和绕绳法与祖冲之的割圆术相比，真是小巫见大巫啊，在那个没有任何精密计算工具的年代能计算出小数点后7位，我被深深震撼了。有的学生说：数学家们精益求精，现在已经有人把π值推算到小数点后10万亿位，实在太了不起了。有的学生说：计算机是如何演算π值的呢？这真是一个谜，我希望长大后能解答这个疑问。这种情感体验的经验在数学学习中有着非常积极的作用。

弗赖登塔尔认为：“反思是数学思维活动的核心和动力。”教师引导学生在活动后的有效反思，可以将“经历”中散乱的感性认识提升为整合的理想思考，也就是“数学活动经验”。构架好反思这座联结“经历”和“经验”的桥梁，是落实“四基”教学目标的重中之重。

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